26 (331)

może się wiązać z koniecznością przestawienia wierszy. Zabieg ten, opisany także w pracy Wiśniewskiego (19S5b), pozwala jednak na wyznaczenie występującej we wzorze (1.27) uogólnionej odwrotności (AN~¹A⁷')~. Zauważmy, że skoro

A N~'A⁷'

	--J		^r A jN '^1A?' AjN^-1 A^7'
■=
	A 2		A2N~'a[ A2N"^!A?_

oraz dla Aj N"^!a[ e

tf(A,N~U[)--K(A) -> dc((AjN^-1 A-") =£ 0 i istnieje (A,N~^lA₎^/ )“^J, to na mocy własności (1.23), mamy

(AN"^łA^rr

(A₁N“^,Aj*)"¹    0

Wobec tego

A ~_(N) = N ^_1A⁷ (A N“*A⁷ )"“ = N"'(A[,aJ]

(A|N"‘a[)~^! 0 0 0

lub

A^_N)=IN“^,Ar(A,N''^,A'rr^,.01

(1.28)

przy czym

N"'a[(A_iN“¹a[)“^! g    oraz r + rf = n.

Uogólniona odwrotność w metodzie najmniejszych kwadratów

Jest to taka g-odwrotność Aj^.^e , że

i)    A A A =s A <— g-odwrotnosć oraz dodatkowo

ii)    (AA^fMaMAAp)

gdzie: M e 3\ⁿ<ⁿ - pewna macierz dodatnio określona. Uogólniona odwrotność Akiyj) jest taką jednoznacznie wyznaczałną g-odwrotnością macierzy A, że wektor

X

A/(\i)U

(1.29)

stanowiący rozwiązanie równania AX = L spełnia własność

(A X - L)¹' M (A X ~ L) - V⁷ M V = min    (1.30)

gdzie: V=AX~L (na ogół AeSi"'"¹, n > m i układ równań AX —Ł jest sprzeczny, co oznacza, że V = AX - L ^ 0).

Jednym z wariantów uogólnionej odwrotności w metodzie najmniejszych kwadratów jest macierz

A/j.M) =(A⁷‘M A)’A^rM    (1.31)

Jeśli A e n > m. R(A) — tn, co oznacza, że istnieje odwrotność (A⁷ M A)^-1 macierzy A ’ M A e S\^,WWI, to

AJ_(M) = (A^rM A)^-1 A^rM    ⁿ-³²⁾

Załóżmy jednak, że [/?(A) = r)< m i macierz A^/MAe'3\"^,'^m jest macierzą osobliwą o rzędzie R(A^l iYI A) - R(A) = r i defekcie d=m~r (taką sytuację spotykamy opracowując swobodne sieci geodezyjne). Przyjmijmy, że macierz A można przedstawić w następującej postaci blokowej

A - (A,, A o ]

gdzie: AjeSi"''. A₂ e 9\"^,r7, przy czym blok A, jest złożony z takich kolumn macierzy A, że R( Aj) = R(a{ M Aj) = r. Inaczej mówiąc, podmacierz A, tworzy r niezależnych kolumn macierzy A, natomiast pozostałe kolumny (w liczbie równej defektowi d) tworzą podmacierz A₂. Ponieważ istnieje (A [ M A,) ~¹ oraz R( A [ M Aj) — R( A), więc

(A^rMA)“

a[m	[A,, A2]		a[m Aj	: a[M A2	-	(A ( M A |)
aJm			A2M Aj	: aJm a 2		0

o

o

Zatem

A/“_(M) = (A^rM A)^- A⁷ M -

(Aj M A,) 0

0j~ a[ M

oj a[m

skąd

^A/(M) -

(AfMAj)-¹ AfiW 0

(1.33)

przy czym

(Af:Vl Aj)^-1 AfM e    Ot JT⁷'" oraz r + d-m.

27