26 (788)

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

dop odo b ieństwe m 0,99 błąd średniej wysokości był większy niż -3 5 m, jeżeli błędy wysokościomierzy maja rozkład normalny i brak jest błędu systematycznego.

Rozwiązanie:

Niech Z będzie zmienną losową oznaczającą błąd wysokości.

Z = x-x gdzie x oznacza błąd średniej wysokości.

Z = -£x_/-X; Z* A "Tl

(    ^T^

0;—

n

P(- 35 < Z < oo) = 0,99

/ \

-35-0

<7

Tn

< Z. <00

= 0,99;

2

1 + F

^35

= 0,99; F

f35

= 0,98

35 Jn

= 2,32; n = 2.37.

Z obliczeń wynika zatem, że powinny być co najmniej trzy wysokościomie-rze.

6. Weryfikowanie hipotez

Weryfikowanie hipotez statystycznych ma na celu potwierdzić przyjętą hipotezę zerową lub spowodować jej odrzucenie na korzyść hipotezy alternatywnej. Rozróżniamy testy parametryczne i nieparametryczne. Testy parametryczne polegają najogólniej mówiąc na wyznaczaniu obszaru krytycznego dla badanego parametru wg przyjętego modelu. Badany parametr wiążemy z pewna statystyką Z. Jeżeli wartość statystyki Z znajdzie się w obszarze krytycznym to odrzucamy hipotezę zerową na korzyść hipotezy alternatywnej.

Inny rodzaj testów to testy nieparametryczne, które służą do weryfikacji hipotez o postaci rozkładów badanej populacji.

Test parametryczny dla średniej Model I:

1/ populacja generalna ma rozkład N(m, a);

2/ odchylenie standardowe jest znane;

3/ parametr m jest nieznany.

Stawiamy wówczas hipotezę zerową H„: m = nio, przeciwko jednej z hipotez alternatywnych:

m * ni o, ni > m_()f m < m₀.    _

\ — w

Statystykę służącą do weryfikacji wyraża się wzorem: U ₌ _——2-; U~N(0,1). Dla hipotezy alternatywnej m * m₀ obszar krytyczny jest dw ustronny i dla poziomu istotności a ma postać:    )v(ju oo)

Dla hipotezy alternatywnej m < m₀ obszar krytyczny jest lewostronny i ma postać (-«>;-//J. Dla hipotezy alternatywnej m > m₀ obszar krytyczny jest prawostronny i ma postać Model II:

1/ populacja generalna ma rozkład N(m, a);

2/ odchylenie standardowe jest nieznane

Hipoteza zerowa i alternatywne takie_same jak w modelu I.

Statystyka kontrolna ma postać: _/ _ X - m₀ r j~

5

jest ona związana z rozkładem t-Studenta o (n-l) stopniach swobody.

Dla dwustronnego obszaru krytycznego t_a wyznaczamy ze wzoru: p(\t\>t_a)=a Dla jednostronnych obszarów krytycznych t_a wyznaczamy ze wzoru: Ąt>tJ=a Model III:

1/ populacja generalna ma rozkład dowolny, próba duża;

2/ odchylenie standardowe nie musi być znane, ale skończone.

Stosujemy wówczas takie same wzory dla statystyki kontrolnej oraz obszarów krytycznych co w modelu 1, przy czym crjest zastąpione przez S².

Pozostałe użyte testy będą omówione bezpośrednio w przykładach.

74/ W wyniku badania pewnej cechy populacji generalnej (cecha ma rozkład normalny) otrzymano wyniki: 305, 321,282, 295, 300, 280, 260, 271. Zweryfikować hipotezą, że m = 280 na poziomach istotności a/ a = 0,01; b/ a = 0,05.

Rozwiązanie:

Model II dla średniej.

Hipoteza zerowa H₀: m = 280\

Hipotezy alternatywne Hp m ^m₀; m > m₀; m < m₀.

Obliczamy: x oraz s² .

~X =-Y,X, = 289,25    s² =-£(*,-*7 = 341,44 —» s = 18,48

8 j=|    8 _/=j

-51-