277 2

7.3. Jcterpołacja

277

Lagrange’a interesujący w tym remie, źe można go łatwo uogólnić na in-l_flCj_{e w} innych, różnych od wielomianów klasach funkcji, np. klasie funkcji skleją-(zob. § 4.6). Jako ćwiczenie czytelnik może wykazać, że jeśli

(7.3.20) to

(7.3.21)

<Kx)= El

i=o

*>(*)■

*(x)

73.7. Interpolacja Hermite’a

Zdefiniujemy teraz ilorazy różnicowe w przypadku, gdy niektóre z ich argumentów są identyczne. Robi się to, przechodząc do granicy, np.

/(*iW(*o)

_rr    . /[^o^o]“/C-Xo^.] fXXo)-f{X0'Xi]

flx₀,x₀, x,] =-

x₀-x,

x₀-x,

Z twierdzenia 73.2 wynika, że

(7.3.22)

/♦■W

i+ł iaz>'

Wzoru Newtona można używać również w uogólnionych zadaniach interpolacyjnych, gdy w węzłach znane są także wartości pochodnych; mówi się wtedy o interpolacji Her-nutea.

Przykład 7.3.4. Znaleźć wielomian trzeciego stopnia taki, że 6(0)=0, Q'(0)= 1, C?0)-3, Q\\)-6. W poniższymi schemacie różnicowym dane wartości podkreślono.

x

x_o=0 0

Stąd

x, =0 0    2

3    1

x₂ = I 3    3

6

x₃=l 3

Q(x)=0 + l *x+2x² + 1 *x²(x—1).

ĘMm* można obliczyć, że wartość 6(ł) j^t taka. jaką by otrzymano

z wzoru