27 (483)

MIEDZI, WSKAZÓWKI. ROZWIĄZANIA 157

12.    Dziesięciu wyrazów.

ówka. Suma będzie najmniejsza. gdy zsumujemy wszystkie ujemne wyrazy ciągu (nj.

13.    a)/»,„,= 121. b) i = 134.

14.    a) Pierwszy i czwarty.

rowsa b) Wyka/, /c nic istnieje liczba całkowita/Mila której równanie ir+/>ii+/i = - 3 ma dwa dodatnie rozwiązania.

15.    a) Ui=-I4; b) ciąg (</. i jest malejący.

ązaniu. b) L>la każdej liczby n 2 I liczba - 3« + I jest ujemna, zatem dla każdej liczby n C, a_ml < <»*. a to oznacza, ze ciąg u/, ) jest lejący.

16.    pe(-3:-H«).

iązanłc. Ciąg Iz/, i jest rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby n a C. prawdziwa jest nierówność d,., >d... czyli nierówność e,.i-«/,>0. Musimy więc znaleźć takie wartości parametrup. aby dla każdej liczby całkowitej ;r> I zachodziła nierówność i* i 1)^:+/>(«+ 11 - (»«^: + pn) :• t). czyli nierówność /> > -2rr - I. Jeśli n e C„ to największa wartość wyrażenia -2n - 1 jest równa 3. zatem nośćp>-2/i- I zachodzi dla każdej liczby całkowitej ;r> I. gdy/»>-3.

17.    Piętnasty.

___ulązanie. a u = 2010. u* = 2010 <=> //’ — 39if’ -t 504n - 2160 = 0. Wiemy, ze jednym z rozwiązali olr/y ntanego nAnania jest m = 12. więc

tumy to— l2Xn‘-27ir + I80)=0. Stąd łatwo znajdujemy drugie rozwiązanie równania: n~ 15. Zatem <i|>=<ii; 2010.

18.    Wyrazy i/₆ i o. różnią .sic o 21¹>.

Rozwiązanie. Sprawdzimy, czy istnieją takie liczby całkowite dodatnie A i m. że a, u„ = 2I<>.

u.-fl, = A* + 10A +2tH0-(rn ' + lOm+2010) = k'-m' + KIA - lOm = (A-/n)iA^; t A«r+irr) + lOtA-in) =(A-m)(A'+A«i + /rr + |ł)i.

Iżabę 21¹) rozkładamy na czynniki pierwsze: 210 — 3-73. Należy więc sprawdzić, czy istnieją takie liczby A. wir C„ ze

I A-mi - 1    _ | A - im = 3

>    , inb e .

A- +A« + «* +10 = 219    *^z+Łm + m‘ +10 = 73

A = m -1

i3łm* +/m) = 208 A = m + 3

- żadna para liczb całkow itych dodatnich nic .s|>elnia tego układu.

( * v «* + 3M-I8 = 0    /« = -(»

IA = 6

<1    ). Zatem wyrazy szósty i trzeci ciągu (o „I różnią sic o 21'A

| w = 3

19. a) ii\₍,- - 5;    b) <i„ = —lir • 59:    c) .S\j = 341).

Rozwiązanie, a) Pierwszy wyraz ciągu id.) jest równy 55. a różnica r tego ciągu równa jest -4. i/,..—</, + 15; 55 +15(—4 J = -5.

20. d|e7,5. r=0.75.

21.    a, = jir-3.

Rozwiązanie. a*+«i* = <J| + 5r + m + 15r = 2d, + 20r = 5. Stąd u, = 2.5- lOr.

ąuij «* Uh +7r)1<J| + I Ir) = <2.5- I0r+ 7 rj( 2.5- U)r+ lir) = <2.5-3;lt2.5 t r) = 3. Równanie <2.5 3rM2.5+ż) = 3 sprowadzamy do postaci |2r* + 20/--13 = 0. Rozwiązaniami tego równania są liczby r_x--~ i r-= -ę. Ciąg Id.) jest rosnący, więc r = —. Obliczamy pierwszy wyraz ciągu: u,=2.5- lOr = 2.5 - 10-0.5 = -2.5. Wzór na wyraz ogólny ciągu tuj: o,=di +<ir - I )r = -2.5+<n - I 1-0.5 = 0.5n - 3.

22. b) Czternastu wyrazów.    23. a)ft:    b) -1920.

24. a) 15:    b)495:    c) 105.    25. 390.

"*6

Rozwiązanie. o=-r^--^^ = 4?^ ⁼^ ^ < 0. więc b=\j2 ^ = -1^2 - fi) = fi - VI

r=v^3 -^3-s/ó = >/3 -\Ts =    = ^3- WI Zauważmy, ze b = a- Zifl i t ~b- 2^2, więc dane liczby tworząci.|g arytmetyczny

o różnicy -2 VI

27.

Rozwiązanie. <i = 32"‘ = (2'ł"^>= 2'^M. c =4^:> = (2ⁱ)“ = 2'". Ciąg u. b, <’ jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy ■—*■ = «-.

2 ¹¹ ^2~^Mi _ 2^I-2^J,%2^4<1 _ Ib-2^-**¹ _ .1.7,2 . Jl. 17. i⁴-*    17 • (2¹    = 17 -8¹' =<■. więc liczby a, A». c tworzą ciąg .uyimclyczny.