362 2

362

8. Równania różniczkowe

Porównajmy to z równością

cxp(ar)= I +a + ła²+£ot³ + 0(a:⁴).

Stad

(8.5.10)    u,=cxp(a)-£x³ + 0(a⁴)=exp(a-$G^J-f 0(x⁴)) (trzeba to sprawdzić!)

u*=exp[aw(l-$a² t-0(a³))].

Dla x—nh, (xn=qhn—qx mamy

u i = exp [<?x (I - £oc² 4- 0 (x⁵))].

Jeśli    to ul jest bliskie rozwiązania dokładnego dla x=nh. Dowodzi się, it

u^ri-cxp{qx)=t -^x²qxexp(qx).

Zupełnie inaczej zachowuje się ul. Ponieważ u₂= — \/u_l, więc

^ = (-l)"Mr" = (-l)"cxp[-4x(l -0{o²))].

Jeśli g<0, to uⁿz powoduje rosnące wykładniczo oscylacje i to nawet wtedy, gdy rozwiążą* nie równania różniczkowego maleje wykładniczo¹. Tłumaczy to słabą stabilność (niestabilność) pokazaną wcześniej w przykładzie 8.3.1.

Rozwiązaniem ogólnym jest

>_b=c,u; + c₂«S.

Oszacujemy teraz wielkość c₂ dla warunków początkowych

J'o ~ 1 >    >'i=c^xP(9A).

Mamy

i wobec (8.5.10)

c, +c₂    =1    («=0),

c_lu_l+c₂u₂=exp(a) (« = 1)

exp(x)-tt, £x³    1 ,

²    u₂-u,    -2    12

Porównamy teraz nasze wyniki z przykładem 8.3.1. Przyjmijmy więc, źc q= — U &    ’

x=5, tzn. <*=-0.1, n~50:

|c₂«“₂|«IO-^ł-^e⁵=O.OI24,

a to jest więcej niż wynosi dokładne rozwiązanie równania różniczkowego, równe O.OOf dla x = 5. Skoro dominuje składowa oscylująca, powinno być

|c2«l|«ł|ys.-vso|=ł(0.01803 +0.00?75)=0.0ł29.

iestov*ł&

Tak więc teoria i doświadczenie zgadzają się bardzo dobrze.

Dla większości metod numerycznych zachowanie się rozwiązań zadania na długim odcinku zależy od wielkości qh.