363 2

363

8.5. Równania różnicowe

PtfiNiCJAr Obszar stabilności {bezwzględnej) metody numerycznej rozwiązywania eadn.cniR początkowego jest zbiorem wartości (zespolonych) qh, dla których wszystkie rozwiania przybliżone zadania testowego (8.5.9) są ograniczone, gdy n-t-co.

Przykład 8.5.9. Dla metody punktu środkowego zbadanej w poprzednim przy-kładzie rozwiązanie ogólne ma (jeśli qh^±i) postać y_n**c_Łtf_s + c₂Wj|. gdzie u, i u₂ są pierwiastkami równania charakterystycznego uⁱ — 2hqu— 1 =0. Ponieważ iloczyn pierwiastków jest równy -1. więc stabilność oznacza, że |w,| = J*i₂| = l. Możemy więc przyjąć w równaniu charakterystycznym, że w = exp(/p), gdzie ę jest rzeczywiste:

e^2i<r—2hqć⁹ — \ =0,

/?<j = isin ę (u> rzeczywiste).

Wynika stąd. że obszarem stabilności metody punktu środkowego jest przedział otwarty od - i do i.

Przykład 8.5.10. Metoda trapezów' (8.3.7) daje w zadaniu testowym równanie różnicowe

+ >'₀=1.

Stąd

{l-\hq)y_n+1=[l+łhq)y_H,

y_n jest ograniczone wtedy i tylko wtedy, gdy |\hq + l|< \{hq—1|, co jest równoważne (rys. 8.5.1) nierówności Re {\hq)<0. Obszarem stabilności metody trapezów jest więc lewa pól-płaszczyzna. Zauważmy też, że jeśli Rc(<y)<0, to dla dowolnie wybranej długości kroku rozwiązanie otrzymane metodą trapezów ma, jak i rozwiązanie dokładne zadania testowego, ważną własność: dąży do zera, gdy rut rośnie.

/

/

SL

-1    1

Rys. 8.5.1