369 2

369

3.5. Równania różnicowe

_lPreykta<iu

1.3.4. Przykład zawiera rozwiązanie szczególne

i

o

(b)    Jakie rozwiązanie spełnia warunek początkowy y₀ = /₀ -c?

(c)    Jakie rozwiązanie spełnia warunek y,₀= 0?

(d)    Sprawdzić podane w przykładzie stwierdzenie, że skutek wszystkich błędów zaokrągleń popełnianych w różnych krokach obliczeń jest mniej istotny niż skutek zaokrąglenia wartości początkowej.

g. (a) Wykazać, że wszystkie rozwiązania równania różnicowego

y,₊ ,-2iy_B + y_n._l=()

są dla — 1 < A< l ograniczone gdy n -*■ oc. natomiast dla każdego innego zespolonego ż istnieje co najmniej jedno rozwiązanie nieograniczone

(b) Niech A będzie macierzą redukowalną do postaci przekątniowej. Podać — w terminach wartości własnych tej macierzy — warunek konieczny i dostateczny ograniczoności {gdy n -* zc) wszystkich rozwiązań równania różnicowego

y«+i “ 2Ay_H+y_n _ i =0.

9.    (a) Dla jakich wartości X zagadnienie brzegowe

J«+i-A>_n+y_ł,-_l = 0, y_o=y,_o = 0 na nietrywiałne rozwiązania?

(b)    Podać wartości własne i wektory własne macierzy trójprzekątniowej 9x9 o elementach

fi <M=d.

(0 (w przeciwnym razie).

10.    Rozważmy zagadnienie własne

&²y_M+XN~^ay_H=0,    y₀=y_N=0.

Niech jego wartości własne będą takie, że X_:(N)<X₂(N)<... Pokazać, żc Xj(H) dąży do ^powiedniej wartości własnej    równania różniczkowego rozpatrzonego w przy

kładzie 8.4.2. Pokazać też, że

\łt^N)~*Ą<n^xWi^Nf

* ** }-}(N) rozwija się względem parzystych potęg IfN.

U* Wyznaczyć obszar stabilności dla 00 metody Eulera: y_a-y»-i=Hf{y_a-i),

• J metody wstecznej Eulera: y_n—y„-_l = hf(y_B).

(^c)    Jaki jest rząd dokładności drugiej z tych metod?

W) Czy te metody są stabilne? Czy są one stabilne typu A?

**<*o<ly numeryczne