53490 matma egz3

4-5) Równania różniczkowe (teoria, proste przykłady rozwiązywania)

cłx '~2* X

a) Równanie różniczkowe — = —-, y > 0 nazywa się równaniem jednorodnym . Krzywa całkowa tego

dy y    '---'

równania przechodząca przez punkt (2,1) ma równanie: x = y + y~' (rozwiązać).

b)    Równania krzywych, dla której tangens kąta stycznej z osią OX⁺ w każdym punkcie styczności jest równy

sześcianowi rzędnej tego punktu, są postaci y = y^} <=> y² =---—. Krzywa, która przechodzi przez punkt

2x + C

-—,1 | ma równanie C = 0 => 2xv² +1 = 0.

, 2 )    '—r—'

2y²

^    y    y

Sprawdzić dla niej ten warunek ( / =--= —— =--— = y )

4 xy    2x

-y

dx    x

c) Całka ogólna równania (x + lny)--h 1H— + siny=0 (jakiego? zupełnego ) jest określona w postaci

dy    y    '---'

uwikłanej równaniem x² + 2x In y + y - cos y = 0 .

^V ......... V    ^J

d)    Równanie w postaci normalnej / = -—, (x,y)e D = (0,oo)xi? interpretujemy geometrycznie następująco: .... (pozwala wykreślić w obszarze D pole kierunków - elementów liniowych w punkcie (x,y)

y

nachylonych do dodatniego zwrotu osi OX pod kątem a takim, że tg a - —; wówczas krzywe całkowe są w

x

każdym z tych punktów mają styczne o nachyleniu pokrywającym się z elementem liniowym - wykreślić kilka

C

takich krzywych i porównać z rozwiązaniem analitycznym y =--)

x

e)    Funkcje y_x =e"²*cosx, y₂ =e~^2xsinx są niezależne, ponieważ obliczyć wrońskian W (x) = 2e~^4t + 0 i

'-^-'

tworzą układ fundamentalny rozwiązań równania liniowego y" + 4y’ + 5 = 0 (jakiego? )

'-V-'

||r.ch. : (r + 2 + /)(r + 2-/) = 0 o r²+4r + 5 = 0||

f)    Zagadnienie Cauchy’ego dla równania y^m-2y" + y' = 0 polega na ... (znalezieniu takiego rozwiązania szczególnego tego równania, które spełnia WP: y(x₀) = y₀ a y'(x_l)) = y_x a y”{x₀) = y₂, gdzie x₀,y₀,y_x,y₂ są ustalonymi dowolnymi liczbami rzeczywistymi) . Jego rozwiązanie ogólne jest kombinacją liniową funkcji l,e\xe^v (podać ich wzory). ||r.ch. : r ' -2r² + r = 0 <=> r, = 0 v r₂ 3 = l(podwójny)||

g) Rozwiązanie szczególne równania y^m + 4y' = 8x(sinxcosx + l) przewidujemy w postaci ... (nie wyliczać stałych !) (y_x = x[(^4,x + Ą)cos2x + (B,x + B₂)sin2x] + x(ax + ó) - wynika z pierwiastków r.ch.: 0, ±2/ i reguły 2 przewidywania)

-3-