3 (1980)

300 Trzy pojęcia definicji

Nie można więc charakteryzować definicji realnych przez opisanie ich struktury. Arystotelesowy postulat, by definicja realna jakiegoś gatunku podawała jego genus i differentiam specificam, był uzasadniony przez odmienną od przyjętej przez nas koncepcję definicji realnej i przez przesłanki Arystotelesowej metafizyki. Definicje realne, rozumiane jako jednoznaczne charakterystyki, mogą wprawdzie występować pod tą postacią, jaką Arystoteles uważał za jedynie poprawną, mogą jednak mieć postaci zupełnie różne od niej; mogą np. mieć postać definicji przez abstrakcję, postać definicji rekurencyjnej, mogą wreszcie przyjmować postać układu pewnych zdań, które łącznie wystarczają do jednoznacznej charakterystyki przedmiotu, czyli mieć postać definicji przez postulaty. Układ postulatów może wystarczać, jak wiadomo, do jednoznacznej charakterystyki nie jednego tylko, ale kilku przedmiotów zarazem. Jako przykład można wymienić niesprzeczny układ n równań pierwszego stopnia o n niewiadomych. Mając na oku takie wypadki można by pojęcie definicji realnej rozszerzyć i mówić nie tylko o definicjach realnych jednego przedmiotu, ale o definicjach realnych kilku przedmiotów, i pojęciem definicji realnej obejmować nie tylko pojedyncze zdania stanowiące jednoznaczną charakterystykę jednego przedmiotu, lecz również układy zdań stanowiące równoczesną charakterystykę kilku przedmiotów.

3. Tyle o definicjach realnych. Przejdźmy obecnie do definicji nominalnych. Załóżmy, że dany jest pewien język, w którym nie występuje wyraz W. W języku tym przyjęte są zdania T i obowiązują reguły inferencji R. Aby temu dać wyraz, oznaczać będziemy nasz język symbolem L_{r R}. Przypuśćmy dalej, że wzbogaciliśmy zdania T przyjęte w języku L_TR o jakieś nowe zdanie D_w, zawierające wyraz W, albo reguły R o jakąś nową regułę R_w, w której mowa o terminie W. Otóż jeśli owo dołączone zdanie D_w lub reguła R_w pozwała wraz ze zdaniami T i regułami R języka L_{T R} przełożyć każde zdanie złożone z wyrazów języka L_{T R} i wyrazu W na jakieś zdanie zbudowane z samych wyrazów języka L_TR, wówczas owo dołączone zdanie D_w lub ową regułę R_w nazywamy definicją nominalną wyrazu W na gruncie języka L_{T R} .'Innymi słowy: definicja nominalna wyrazu W / na gruncie języka L_TtR nie zawierającego wyrazu W jest to takie zdanie lub taka i reguła inferencji, która dołączona do zdań uznanych i przyjętych reguł języka L_{t r} pozwala przełożyć każde zdanie zbudowane z wyrazów języka L_TR i wyrazu W na jakieś zdanie zbudowane z samych wyrazów języka L_{r R}, a więc wolne od ! wyrazu W. (

Definicja nominalna wyrazu W, mająca postać zdania zawierającego sam wyraz definiowany, nazywa się definicją nominalną podaną w stylizacji przedmiotowej. Definicja nominalna wyrazu W, mająca postać reguły inferencyjnej, dotyczącej wnioskowania ze zdań zawierających termin W, nazywa się definicją nominalną podaną w stylizacji metajęzykowej. Np. definicja „kwadrat jest to prostokąt równoboczny” posiada stylizację przedmiotową, gdyż występuje w niej sam wyraz definiowany, a nie jego nazwa. Natomiast definicja mająca postać reguły inferencyjnej „ilekroć uznane jest jakieś zdanie zawierające wyraz »kwadrat«,

tylekroć wolno uznać zdanie, które z niego powstaje przez zastąpienie wyrazu »kwadrat« wyrażeniem »prostokąt równoboczny«” ma stylizację metajęzykową, gdyż nie występuje w niej sam wyraz definiowany „kwadrat”, ale jego nazwa.

Ogólna postać definicji nominalnych przedmiotowych nie daje się ustalić, zależy ona bowiem zawsze od słownictwa języka L_TR, od jego zdań uznanych i od przyjętych w nim reguł. Dla języków L_r R, w których występuje znak identyczności, do którego stosują się zwykłe tezy i reguły inferencji związane z tym znakiem, najprostsza przedmiotowa postać definicji wyrazu W na gruncie języka L_{t r} jest identycznością, w której po jednej stronie występuje sam wyraz W, zaś po drugiej wyrażenie zbudowane z samych wyrazów języka L_T R. Są to tzw. definicje wyraźne. Dla takich języków spotyka się też tzw. definicje kontekstowe, mające postać identyczności, która po jednej stronie ma wyrażenie zbudowane z wyrazu definiowanego, a poza tym z różnych między sobą wyrazów zmiennych, a po drugiej wyrażenie zbudowane z tych samych wyrazów zmiennych, a nadto tylko z wyrazów języka L_{T R}.

Dla definicji podanych w stylizacji metajęzykowej można jednakże podać pewne ich postaci, które dają się zawsze zastosować. Są nimi dwie postaci reguł podających tzw. skróty. Jedną z nich jest reguła skrótów wyraźnych, pozwalających, ilekroć uznane jest jakieś zdanie zawierające wyraz definiowany W, zastąpić go przez pewne wyrażenie zbudowane z samych wyrazów języka L_TR. Drugą jest reguła skrótów kontekstowych, pozwalająca w wypadku, gdy uznane jest jakieś zdanie zawierające wyraz definiowany w kontekście pewnego kształtu, uznawać zdanie powstające z tamtego przez zastąpienie tego kontekstu określonym innym kontekstem, w którym występują tylko wyrazy języka L_T R. Reguły skrótów zapisuje się zwięźle w postaci „a = b”. Np. „1 = seq 0” albo „p-*q= ~ p \J q”•

df    df    df

W naszej definicji nominalnej posłużyliśmy się terminem „przetłumaczyć”, który wymaga wyjaśnienia, tym bardziej, że jest to termin dwuznaczny. Można bowiem mówić o przekładzie zakresowym i o przekładzie treściowym. Przetłumaczyć w sensie zakresowym na gruncie tez T i reguł inferencji R zdanie A na zdanie B — to tyle, co wyprowadzić wedle reguł R ze zdania A oraz tez T zdanie B, i na odwrót, ze zdania B oraz tez T wyprowadzić wedle reguł R zdanie A. Innymi słowy, zdanie A jest na gruncie tez T i reguł R zakresowym przekładem zdania B — to tyle, co: zdanie A jest inferencyjnie równoznaczne zdaniu B na gruncie tez T i reguł R.

Trudniej będzie zdać sprawę z tego, co to znaczy przetłumaczyć w sensie treściowym zdanie A na zdanie B na gruncie tez T i reguł R. Aby to uczynić, musimy wśród reguł inferencji wyróżnić pewną ich grupę, mianowicie grupę reguł inferencji właściwych dla języka L, albo krótko — reguł inferencji tego języka. Nazywamy w ten sposób owe reguły inferencji, których nie można pogwałcić, jeśli się chce mówić tym językiem. Mówiąc dokładniej, daną regułę inferencyjną, która zezwala na podstawie uznania przesłanek o pewnej budowie uznać wniosek