4

232

XI. Algebra macierzy

Mnożenie macierzy wykonuje się przez sumomnożenie wierszy pierwszej macierzy przez kolumny drugiej' macierzy. W tym celu należy pomnożyć pierwszy wiersz""pierwszej” macierzy kolejno przez wszystkie kolumny drugiej macierzy. Suma iloczynów odpowiednich elementów •pierwszego wiersza pierwszej macierzy przez elementy pierwszej kolumny drugiej macierzy staje - się pierwszym elementem pierwszego^- wiersza .macierzy iloczynu. Suma iloczynów elementów pierwszego wiersza pierwszej macierzy przez elementy drugiej kolumny drugiej macierzy jest drugim elementem pierwszego wiersza macierzy iloczynu itd. Otrzymana w rezultacie macierz iloczynu ma tyle wierszy, ile wierszy ma pierwsza macierz i tyle kolumn, ile ich ma druga macierz. Na przykład

^an ^lŚjTphr ^12 &13I    ~ -

I__    _^21    ®22j L^21    ^22    ^23j    .    ____r “

^ail ^11 ^-1^_®12^21 ^all^l2 + ^12^22    ^11^13 H^_Ct12^23

^21 ^11 ~l~^22 ^21    ^21 ^12 “1“ ^22 ^22    ^21 ^13 ~ł~^22 ^*23

Wymiar (stopień) macierzy, równy iloczynowi liczby wierszy i liczby kolumn, wynosi dla pierwszej macierzy ixj =2x2, dla drugiej macierzy %xj =2x3, dla macierzy iloczynu zaś i xj =2x3.

Mnożenie macierzy nie jest przemienne, tzn.

-A-ik ‘ B_kn ¥= B

^>kn

'A_ik.

Transpozycja macierzy

Jeżeli w danej macierzy przestawimy nawzajem wiersze i kolumny, tzn. pierwszy wiersz będzie w nowej macierzy pierwszą kolumną, a pierwsza kolumna będzie pierwszym wierszem itd., to powstała w ten sposób tablica nazywa się macierzą transponowaną w stosunku do danej macierzy. Macierz transponowaną danej macierzy A oznaczamy przez A'.

Na przykład, jeżeli mamy daną macierz    H-iM™

to macierzą transponowaną jest

W macierzy transponowanej poszczególne elementy mają przestawione indeksy.