54 (134)

3.1.7. Układy równań liniowych z wartością bezwzględną

Por. 1.6.3.

3.1.8. Układy trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi

a_xx + b_xy + c,z - d,

a₂x + b₂y + c₂z = d_r a₃x + b.y + c₃z = d₃

a) Postać układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi:

b)    Rozwiązać układ to obliczyć niewiadome liczby x, y, z.

c)    Rozwiązaniem układu jest trójka liczb (x,y. z) spełniająca trzy równania równocześnie.

d)    Pojęcie wyznacznika 111 stopnia

A	B	C
D	E	F	=
G	H	/

= AEl + BFG + CDH - CEG - AFH - BDl

= 0 + 4 + 0 — 0 — 1-0 = 3. e) Metoda wyznacznikowa rozwiązywania układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi

axx + bxy + c,z = d, a2x + b2y + c,z = d2, W =	a. ^a2	bx c, b2 c.	; Wx =	dx d2	bx c, b2 c2	; W = * >•	a.	dx C, d2 c2	; W. =	ax bx dx ^a2 ^b2 ^d2
a3x + b3y + c3 z = d3	^a3	^b3 ^C3		<*>	^b3 ^C3		^a3	^d3 ^C3		^a3 ^b3 ^d3

w w wJR

X =    = -jy-; 2 = I przy stosowa-

Na przykład: 1 2 0 O 3    1

2 1 0

Rozwiązaniem układu jest trójka liczb spełniających ten układ: nych założeniach.

f) Metoda podstawiania i metoda przeciwnych współczynników dla trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi są analogiczne jak dla układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi (por. 3.1.5.).

Uwaga 1: Podobnie jak dla układu dwóch równań o dwóch niewiadomych, można sformułować kryteria roz-I poznawania, kiedy układ ma dokładnie jedno rozwiązanie (np. W # o), kiedy ma nieskończenie wiele roz-¹ wiązań, a kiedy nie ma rozwiązań (np. W = 0 A ( W_x ± 0 V W_y / 0 V W_z ^ 0^).

Uwaga 2: Analogicznie, jak układ dwóch równań liniowych o dwóch niewiadomych przedstawia graficznie | wzajemne położenie dwóch prostych na płaszczyźnie, tak interpretacją graficzną układu trzech równań liniowych o trzech niewiadomych jest wzajemne położenie trzech płaszczyzn w przestrzeni (przy stosownych i założeniach).

CHCItZ WIIPZIIC WIĘCEJ?

Wzory x = -jjf, y = -ppf. z = -ppf nazywają się wzorami Cramera.

Gabriel Cramcr (1704-1752) — szwajcarski matematyk, którego prace dotyczą głównych zagadnień algebry w zakresie teorii równań liniowych i wyznaczników oraz geometrii krzywych.

Eliminacja (rugowanie) polega na rozwiązywaniu układów równań poprzez kolejne zmniejszanie liczby niewiadomych występujących w poszczególnych równaniach. Jedną z metod eliminacji jest metoda podstawiania. Metodę eliminacji można stosować zarówno do układów równań liniowych, jak i do takich, w których żadne nic jest liniowe.