73 (73)

3.4. Równania, nierówności I układy równań II stopnia i wartością bezwzględną lub z parametrom

3.4. RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI I UKŁADY RÓWNAŃ II STOPNIA Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ LUB Z PARAMETREM

3.4.1. Równania, nierówności i układy równań II stopnia * wartością bezwzględną

dla ,v > 0 mamy rozwiązać równanie ox~+ bx + c = 0 w dziedzinie (0; +oo 1

W tym bloku będą omówione niektóre równaniu, nierówności i układy równań stopnia drugiego, w których niewiadome będą występować pod wartością bezwzględną.

a) Jeśli pod wartością bezwzględną występuje tylko sam .v: | ,v | czy y: | y |, to korzystamy z definicji wartości bezwzględnej (por. 1.5.1. i 3.1.2. oraz 3.1.7.) i rozpatrujemy różne alternatywne przypadki. Oto przykłady:

(1) Równanie ax + b |a|| + c = 0, a # 0, rozwiązujemy jako alternatywę dwóch przypadków:

dla x < 0 mamy rozwiązać równanie ax²— bx + c = 0 w dziedzinie (—oo; 0)

Rozwiązaniem układu jest suma rozwiązań z poszczególnych przypadków, b) Jeśli pod wartością bezwzględną występuje pewne wyrażenie zawierające niewiadomą x, to rozpatrujemy alternatywę różnych przypadków ze względu na założenia dotyczące znaków poszczególnych wyrażeń pod wartością bezwzględną. Oto przykłady:

(l)|ax²+ftx| + c = 0, a # 0. Najpierw określamy znak wyrażenia ax² + bx = x (ccc + b). Gdy

na przykład

a > 0 b < 0

Rozwiązaniem równania ax + £> | x | + c = 0 jest suma rozwiązań równań z obu przypadków.

(2) Nierówność ax² + b\x \ + c ^ 0, fr# 0 rozwiązujemy jako alternatywę dwóch przypadków:

dla x >0    dla x < 0

mamy rozwiązać nie- mamy rozwiązać nierówność    V    równość

<zx^: + fax + c>0    ax - bx + c > 0

w dziedzinie (0; +oo )    w dziedzinie ( - oo; 0 )

Rozwiązaniem nierówności ax~ + b\x\ + c ^ 0 jest suma rozwiązań nierówności z obu przypadków.

y = ax‘ + b |x| + c\a # 0 mx + n |y| + p = 0 rozwiązujemy jako alternatywę czterech przypadków:

(3) Układ równań

dla

x< 0

y> 0 rozwiązujemy układ: y = ax — bx + c mx + ny + p = 0

dla

x > 0

y> 0 rozwiązujemy układ: y - ax + bx + c nu + ny + p — 0

Zatem

dla

xe(-oo;0)u(-£;+oo) rozwiązujemy równanie ax~ + bx + c = 0 w dziedzinie

dlax€=(o;-#)

:my równa • bx + c = ne(°:-§)

rozwiązujemy równanie —ax — bx + c = 0 w dziedzinie |

(-oo;0)u|—|;+ooj

Rozwiązaniem równania ax*+ bx + c = 0 jest

suma rozwiązań z obu przypadków.

2 I    i    \^a ^ ®

(2) ax + | bx + c | < 0,

b > 0

. Rozpatrujemy

dwa przypadki: dla x > --£■

rozwiązujemy nierów- rozwiązujemy nierówność ax²+ bx + c < 0 V ność ax*- bx - c < 0 w dziedzinie    w dziedzinie

dla x <—x

cz>

oo

K⁺“i

x < 0 y < 0 rozwiązujemy układ: y = ax — bx + c nu - ny + p = 0

dla

dla

x > 0

y< 0 rozwiązujemy układ: y = ax + bx + c nu — ny + p = 0

Rozwiązaniem nierówności ax‘+ |&v + c| < 0 jest suma rozwiązań z obu przypadków.

c) Jeśli wartość bezwzględna obejmuje jedną ze j stron równaniu czy nierówności, to możemy sko- | rzystuć z własności k), 1) lub m) wartości bez- j względnej przytoczonych w 1.5.2.

O