76 (70)

3.4.3. Układy równań II stopnia z parametrem

Układy równań, z których jedno równanie jest co najmniej stopnia pierwszego (por. 3.2.7.), mogą zawierać (oprócz niewiadomych .v. y) parametr (np. m). Rozwiązując takie układy metodą algebraiczną (na ogół metodą podstawiania), po wyrugowaniu jednej niewiadomej, otrzymujemy równanie kwadratowe z jedną niewiadomą i z parametrem. Wówczas przeprowadzamy dyskusję istnienia i liczby rozwiązań równania kwadratowego (por. 3.4.2.), a w następnej kolejności całego układu równań.

Zależność liczby rozwiązań układu równań od różnych wartości parametru można też przedstawić graficznie.

Oto dwa przykłady:

» | y = x~ +- m    ^ I y = x³ + m

I i I

1 ot + y + 1 = O [,v‘ + .v + m + 1 = 0

Przeprowadzamy dyskusję istnienia i liczby rozwiązań równania: x² + x + m + 1 =0.

Istnienie i liczba rozwiązań tego równania (co za tym idzie całego układu równań) zależy od wartości wyróżnika A = —4 m — 3.

A > O, czyli m <

Dla

,    3

—4

A > 0, czyli m < —

równanie kwadratowe ma 2 pierwiastki: x_r .v, t

układ równań ma 2 rozwiązania:

A = O, czyli

równanie kwadratowe ma 1 pierwiastek: x₀ U

układ równań ma 1 rozwiązanie: (*o.!■*•)

równanie kwadratowe nie ma pierwiastków II

układ równań nie ma rozwiązań

b)

	Y ly =*^s
C*.;y^V	1 (m < -
	_1 / AT
	's/tey*) +y +

Interpretacja graficzna:

	K / ,3 \	tr /
+ m v \	/ ^ 4 \ \	/>’ =
i ■	J (m--|) \\	/ (m
-n	-'i at -r>	A
(*o»yb)
1=0	\x +y+1=0	NZ+yn

E;fjgi . « \y=b**°

I x~ + y=m l*⁴-m²x²+ 1 = O

^L    l    4    2    2    *

Przeprowadzamy dyskusję istnienia i liczby rozwiązań równania: x — m x~ + 1 = 0.

Istnienie i liczba rozwiązań tego równania (co za tym idzie całego układu równań) zależy od istnienia i liczby rozwiązań równania t~ — m~/ +1=0 dla / = x²^ 0, którego wyróżnik A = m — 4.

A > O. czyli /n € | — oo; — v/2) U (/2: + OO j

Dla

= ±v/2

A < a czyli m e (~/2: /2)

równanie t — m~ t + 1=0 ma 2 pierwiastki t₉ t₂ (/,,    O )

₄I _a

równanie x* — m‘ x² + 1 =0 ma 4 pierwiastki: x„ x₂, x_y x₄ I

układ równań ma 4 rozwiązania:

(^xiM: y₂ )-(^xi ^3)»(*4; y*)

równanie ł — m t + 1 = 0 ma 1 pierwiastek t_Q ( f_a > 0) n ₂

równanie x— m x + 1 =0 ma 2 pierwiastki: r_|t x₂ i

układ równań ma 2 rozwiązania:

(**:**)

równanie t — m ł + 1 = 0 nie ma pierwiastków

równanie jr — w ,v +1=0 nic ma pierwiastków 1

układ równań nie ma rozwiązań

Interpretacja graficzna: