img046 (28)

172

Występują tu dwie dowolne stałe.Powyższa operacja sprowadziła równanie (II-1) do trzech równań różniczkowych zwyczajnych, które można zapisać w postaci

— X(x) = -k²X(x), dx² 2

(H-5)

(II-6)

—rY{y) = -l²Y(y),

dy

Ą-Z(z) = (k² +l²)z(z). dz

Rozwiązania ogólne równań przedstawione są następującymi wzorami: X = A cos kx + B sin kx,

Y = Ccos/y + Dsin/y,

Z = Echylk² +/² z + Fshylk² +1² z.

Z równań tych otrzymuje się rozwiązanie ogólne równania (II-1)

V = (Zcosfcc + Dsin kx\Ccosly + Dsin ly^Echylk² + /² z + Fshy/k² +1²

(H-7)

Rozwiązanie to można otrzymać metodą superpozycji ujmując wszystkie możliwe rozwiązania (tzn. ze wszystkmi możliwymi wartościami k i /). Dowolność istnieje również przy wyborze funkcji podstawowych, z których otrzymuje się rozwiązanie ogólne, tzn. zamiast cos i sin jak również ch i sh można zastosować funkcje exp(jkz) i exp(-jkx) oraz exp(Ax) i exp(-£x). Otrzymuje się wtedy

(H-8)

X = A exp (jkx) + B exp(- jkx), Y = C exp(y7y) + Dexp(-jly),

Z = E exp|

(E

² +l² z 1 + F ex

p^- 4k‘

+ 1² z

Z powodu następujących zależności

(H-9)

exp(± jkx) = cos kx± j sin kx, exp(± kz) = ch kz ± sh kz,

otrzymuje się wzory tożsamościowe.

To czy do rozwiązania (określenia V) użyje się funkcji (II-6) czy (11-8) nie ma większego znaczenia. Są jednak takie przypadki, dla których należy zastosować jedną z podanych funkcji. Zależnie od rodzaju problemu są to funkcje albo dla par wartości k, l lub tylko dla konkretnych wartości k i /.

b) Rozwiązanie równania Laplace’a w układzie współrzędnych cylindrycznych.

Równanie Laplace'a w układzie współrzędnych cylindrycznych ma następującą postać

fi-ŁL	rd\
o V \^r dr	dP

n 2    n2 \

V = 0.

+

(II-10)

J

W celu rozwiązania powyższego równania dokonano podstawienia

V(r,_V,z)=R{ryx>{<p)Z(z)    (II-l 1)

i otrzymano

1 1 d

R{r)r3

d r

R(r)

+

1

1 d

O {<p)d(p²

Z(z)d z

Z(z)= 0. (11-12)

Pierwsze dwa składniki zależą tylko od r i (p, a ostatni od z. Można więc wprowadzić stałą

(11-13)

(11-14)

(11-15)

1 d²Z(z) _h2

Z(z) dz

a rozwiązanie podać w różnych wersjach np.

Z = A\ćhkz + A2$hkz ,

lub

Z - A\ęx$(kz}+ ył₂exp(-/:z).

W związku z tym część równania (11-12) zależna od r, (p przyjmuje następującą postać

1 1 d

1

-O (<p)+k² = 0

R{r)

R(r)r d

Po pomnożeniu przez r otrzymuje się

> A-iJLĄA+k

R(r)dr^K dr ^v )}

dr

O {(p)d(p

2 „2    \ d

r +

Q>((p)d(p