8 (306)

W2

Różniczkowanie funkcji złożonej

Niech f: X-»$R, Xc=$Rⁿ, u=f(xi.....x_n) i niech Q\. [a,b]->$R (i=1.....n).

Jeżeli dla każdego te[a,b] punkt (gi(t),... ,g_n(t))eX, to funkcję

u=f [gi(t), ... ,g_n(t)]

nazywamy funkcją złożoną zmiennej t określoną w przedziale [a,b].

Ą    'WO-

Twierdzenie 1

Jeżeli funkcja f: X-»$R jest różniczkowalna w obszarze Xc=9tⁿ

a funkcje gi: (a,b)-^K (i=1,... ,n) mają pochodne w przedziale (a,b),

to funkcja złożona zmiennej t ma pochodną w każdym punkcie przedziału (a,b) i:

dt ax₁ dt dx₂ dt dx_n dt

df _ af dg_{1 +}_a^dg2 ₊ df dg^

lub krócej:

— = T—— -Fit    I _r, ,-J

dt

-,/fri/i-^i'G'W ,    6 (f)⁼LpW, ■•'/?’£[}    ;

/ca)

Przykład 1.    p^J fj/

Wyznaczyć —, gdzie f(x,y,z) - x^(yz), jeżeli x=cos3t, y=sint³, z=arctgt². ^ dt

y*L» k

(L

Ai r ^(y2 y* y^i\ f    'Ly²-*/^x

y²

t*X ‘2 / X ć

~6 <

G fr) <-3 s<m yt , l i ^ f G ^ - 2 / j

. s.icfyi'¹ (cau)    ^

Yp-    s

4-

4 Pj 4 [COb 3tf)

lvt (t~r[    ^

1

' (W (((?>}//) * <TvcXr.^ . j    ^

’ Łia(lg$ 5/) -5(V, X'.

l •+ c

Gc t_ pop-fęęy/ti/ fot/ę    a. ucy

8 MAT2 Mechatronika Jan Nawrocki