82291

Definicja 3.9 (Funkcji złożonej)

Niech będą dane dwie funkcje f : X >-* Y i g : Y *-* Z.

Funkcję h : X Z taką. że (Vx € X) h(x) = g{f{x)) nazywamy funkcją złożoną i oznaczamy h — go f.

Przykład 3.5 X = Y = Z = R, /(x) = sinx, g{y) = 2» , to h(x) = T^inx. Definicja 3.10 ( Funkcji odwrotnej)

Niech funkcja, f : X *-* Y będzie odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym.

Funkcją odwrotną do funkcji f nazywamy funkcję f~¹ : Y ►—» X określoną następująco:

f~^l{y)) = x^> f(x) = y

Przykład 3.6 Funkcję odwrotną do funkcji f(x) = sinx, X = (-§<§)• Y = (-lii) oznaczamy /^-1(x) = arcsinx. Dziedziną jest X = (—1,1),a zbiorem wartości

Y = <-?,!>.

3.2 Granica funkcji

Definicja 3.11 (Punktu wewnętrznego zbioru)

Punkt xo € R jest punktem wewnętrznym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy (3óeR+) : {x₀-6,x₀ + 6) C A

Zbiór punktów wewnętrznych zbioru A oznaczmy intA i nazywamy wnętrzem tego zbioru.

Definicja 3.12 (Punktu skupienia zbioru)

Punkt xq nazywamy punktem skupienia zbioru A . jeśli

(3 {x„} C A. x_nć xo) :    lim x„ = x₀

n—oo

Uwaga 3.1 Punkt skupienia zbioru nie musi do niego należeć.

Definicja 3.13 (Domknięcia zbioru)

Domknięciem zbioi'u A nazywamy zbiór wszystkich granic ciągów złożonych z jego elementów. Oznaczamy ten zbiór A .

x₀ eA (3 {x„} C A) :    lim x„ = xo

n—oo

Uwaga 3.2 Zauważmy, że A C "A. ponieważ każdy element x € A możemy traktować jako granicę ciągu stałego x_n = xq.

Niech dane będą: zbiór A C R, funkcja / : A —* Ri x₀ -punkt skupienia zbioru A . Definicja 3.14 (Granicy funkcji w sensie Heinego)

Liczbę g £ R nazywamy granicą w sensie Heinego funkcji / w punkcie xo, jeżeli (V{x„J C -4, x„ ^ x₀) [lim x„ = x₀ => lim /(x_n) = g]

71 “*00    fl—*OC

12