Skrypt

§1. FUNKCJE.

I. Wiadomości ogólne.

Definicja 1.1.

Niech będą dane dwa niepuste zbiory X i Y.

Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element y ze zbioru Y, to określimy w ten sposób funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y co możemy zapisać symbolicznie f: X-»Y.

Element x nazywamy argumentem a jedyny element y, który został przyporządkowany elementowi x oznaczamy przez f(x) i nazywamy wartością funkcji f dla argumentu x. Często też, mniej precyzyjnie mówimy, że f(x) jest to w'artość funkcji f w⁷ punkcie x. Zauważmy jednak, że zbiory X i Y mogą być dowolne i w związku z tym x jako element zbioru X może nie mieć nic wspólnego z punktem w sensie geometrycznym.

Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D _f.

Zbiór iy: y ~ f (x) , u e D, j nazywamy przeciwdziedziną lub zbiorem wartości funkcji f i oznaczamy R ,-.

Jeżeli R_f a Y to mówimy, że f odwzorowuje X w Y.

Jeżeli R,- =7 to mówimy, że f odwzorowuje Xnci Y a funkcję f nazywamy surjekcją.

Są różne sposoby podania funkcji. Może być to np. przepis słowny, graf, tabela, wzór. Przykład 1.1.

Każdemu studentowi pierwszego roku Wydziału Geodezji przyporządkujemy liczbę wyrażającą jego wzrost w metrach. Określamy funkcję, której dziedziną X jest zbiór studentów pierwszego roku natomiast jako zbiór Y bierzemy zbiór liczb rzeczywistych. R_r c Y gdyż me ma studentów⁷, którzy⁷ mieliby w⁷zrost o wartości ujemnej czy⁷ też większej od

10 metrów więc nasza funkcja nie jest surjekcją.

Gdybyśmy jako zbiór Y wzięli zbiór wszystkich wyników pomiaru wzrostu studentów⁷ Wydziału wówczas mielibyśmy R_f =Y i funkcja byłaby surjekcją.

Zauważamy więc, że własność surjektywności zależy⁷ od tego jaki jest zbiór Y. W szczególności każdą funkcję można traktowuć jako suijekcję na jej zbiór wartości

Przykład 1.2.

Niech X oznacza zbiór żonatych mężczyzn obywateli RP, a zbiór Y zbiór zamężnych kobiet. Każdemu żonatemu obywatelowi przyporządkujemy jego żonę. Określiliśmy funkcję f, której dziedziną X jest zbiór żonatych Polaków. R_f =Y więc ta funkcja jest suijekcją

Zauważmy, że gdybyśmy rozpatrywali zbiór żonatych mężczyzn na całymi świecie to przyporządkowanie im żon nie byłoby już funkcją. Są bowiem kraje, w których dopuszczalne jest wielożeństwo i tym samym nie spełniona byłaby podstaw⁷ow⁷a własność funkcji: przyporządkowanie elementowi x dokładnie jednego elementu y.

W rachunku prawdopodobieństwa mamy do czynienia z funkcjami, które przyporządkowują liczby (z przedziału [0,1]) zdarzeniom losowym. Funkcje te mają nietypowa dziedziny. Są nimi zbiory⁷ zdarzeń losowych.

1