8 (914)

Ciągi liczbowe

Granice ciągów

49

rosnący (rys. 1.1.7 - 8). Ciągi - monofonicznymi. Określenia i definicji funkcji monotonicz-znych od numeru no £ ki* Mord aj ąc znak różnicy a_n+i — Un>

porównując iloraz —r    ^z 1-

Ig

O Ćwiczenie 1.1.13

a)    Dla n > 4 niech p_n oznacza długość największej przekątnej n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 1. Czy ciąg (p_n) jest rosnący?

b)    Dla n > 3 niech S_n oznacza pole n-kąta foremnego opisanego na kole o promieniu 1. Czy ciąg (S_n) jest malejący?

O Ćwiczenie* 1.1.14

Znaleźć największy wyraz podanego ciągu:

a) a_n — 5n - n²;    b) b_n = 2ⁿ⁺² - 3ⁿ;    c) c_n = sin

iacy fiący tlejący j snący

c) c_n — n +

_a = n² - n;

(3n)i,

ⁿ “ (n!)³ ’ fn = ^logn+l h_n = 5ⁿ~T-2ⁿ.

U7T

sm

O Ćwiczenie* 1.1.15

Znaleźć najmniejszy wyraz podanego ciągu: a) a_n = 2n² - lin;    b) 6_n = n³ - 13n;

c) c_n

V^/9Ó .

1.2 Granice ciągów

» Definicja 1.2.1 (granica właściwa ciągu, ciąg zbieżny)

Ciąg (a_n) ma granicę właściwą (krótko: granicę) a € M, co symbolicznie zapisujemy w postaci równości lim a_n = a, wtedy i tylko wtedy, gd}'

n-—>co

A V A [(ⁿ > ⁿo)=KK -a\ <e) .

£>0 no€N ngN

Ciąg, który ma granicę właściwą, nazywamy ciągiem zbieżnym. W przypadku przeciwnym mówimy, że ciąg jest rozbieżny. Obrazowo: ciąg ma granicę a, gdy jego dostatecznie dalekie wyrazy leżą dowolnie blisko punktu a. Zamiast równości lim a_n — a można pisać a_n —> a. Można również pisać krótko lim a_n = a lub

n—* oo    ^,l—⁰⁰

0-n    * a.

a_7l

wnego miejsca: