Bez nazwyp

134

El

d²v

dx~

-M_x,

(12.2)

przy czym A/_g = F(v_a + v)- F{j_u + /) jest momentem gnącym w przekroju z. Po

wprowadzeniu do równania (12.2) momentu gnącego i jego uporządkowaniu mamy

£f + *W²(/-*-/,cos^j,    (12.3)

gdzie: Ir = F/EI.

Całka szczególna równania (12.3), przewidziana z uwzględnieniem prawej strony tego równania, przedstawia się następująco:

, ■■ ,    /„    7LT

V. = / +-—-_rcos-,

f 71 V ^2L

'"Uli,

a całka ogólna:    v = ^sinfct + Bcosfcr + v,,    (12.4)

Nieznane stale całkowania A i B należy wyznaczyć z warunków brzegowych

d v

x = 0;    1. v = 0;    2.    — = 0.

dx

Po wyznaczeniu stałych całkowania ostatecznie otrzymujemy następujące równanie linii ugięcia pręta:

(12.5)

W przypadku pręta idealnego mamy /, = 0 i równanie linii ugięcia ma postać:

v = /(l-cosfa).    (12.6)

Jest to równanie reprezentujące rozwiązanie Eulera dla pręta idealnego. Aby na podstawie tego rozwiązania dojść do wartości siły krytycznej, należy wstawić do niego v = / przy x = L. Otrzymujemy wtedy warunek wyboczenia cos kL = 0, z którego wynika

kL = n^, (n = 1,2,3......).    (12.7)

Podstawienie do ostatniego warunku k. w którym sita F = F_kr, prowadzi do następującego wyrażenia na siłę krytyczną:

F*    ⁽¹²⁸⁾

Najmniejsza wartość powyższej sity (przy n = 1) stanowi silę eulercwską dla pręta prostego o warunkach zamocowania pokazanych na rysunku 12.2.

Wracamy teraz do równania (I 2.5). Wprowadzamy do niego v = f przy x - L oraz k (w którym F< Tą,,), dzięki czemu dochodzimy do zależności

L

K-f

-/

cos ki. = 0 .

W równaniu powyższym, gdy F < F_k,, cos kL * 0 i stąd

/. -r-r-f⁼⁰-    ⁽¹²-⁹⁾

Otrzymaliśmy związek między siłą osiową F i ugięciem swobodnego końca / pręta z odchyleniem od prostoliniowości reprezentowanym przez W wyrażeniu tym zawarta jest również sita krytyczna pręta idealnego o wymiarach i sposobie zamocowania takich jak pręta z początkową krzywizną. Równanie (12.9) opisuje stany równowagi pręta z początkową krzywizną w zakresie małych odkształceń sprężystych; nie opisuje ono zjawiska wyboczenia pręta, ale stwarza możliwości eksperymentalnego wyznaczenia przybliżonej wartości obciążenia krytycznego.

12.2. Sposób wyznaczania siły krytycznej i stanowisko pomiarowe

Równanie (12.9) po przekształceniu przyjmuje postać:

f =    (12.10)

F

Równanie powyższe reprezentuje w układzie współrzędnych / - f/F prostą o współczynniku kierunkowym równym sile krytycznej pręta idealnego F_kr i wyrazie wolnym f„. Prostą (10) pokazano na rysunku 12.3. Celem eksperymeritu jest wyznaczenie siły krytycznej. Z rysunku 12.3 wynika, że do osiągnięcia celu wystar-