CCF20090319039

48 Różniczkowanie funkcji

48 Różniczkowanie funkcji

(2.22)

Zadania

Obliczyć prędkość i przyspieszenie punktu, którego położenie określa promień wodzący f(t) = x(t) i + y(t)j, gdzie:

1.    x{t) = t, y(t) = 2t²;

2.    x(t) = bcosut, y(t) = csinut, b, c, u — stałe;

3.    x(t) = uotcosa, y(f) = uotsino: — gt² /2, vq, a, g — stałe.

2.11. Pochodne cząstkowe i różniczki

Rozważmy funkcję dwu zmiennych /(z, y). Pochodną cząstkową rzędu pierwszego tej funkcji w punkcie (xo,yo) względem zmiennej x nazywamy granicę

j.    f(xo + &x,yo) ~ f(xp,yo)

Ax->0    Ax

Pochodną cząstkową Uczymy tak jak zwykłą pochodną funkcji jednej zmiennej x, przy czym zmienną y traktujemy jak stały parametr. Analogicznie definiujemy pochodną cząstkową funkcji f(x,y) względem zmiennej y:

Zadania

Obhczyć pochodne c nej funkcji

1. u = z lny — e^r. 3. u =    + yVx

Vv

5. u = (xy)^z,

7. z = ln(a: + In5

9. Wykazać, że w nie, V - objęto iloczyn pochoc

10. Zbadać szybka

a)    przy zmiam

b)    przy zmian:

_nm f(^xo^yo + Af/)~ f(^xo,yo)

At/—►()

A y

(2.23)

Pochodne cząstkowe funkcji f(x,y) względem zmiennej x i zmiennej y oznaczamy odpowiednio symbolami

df _fl( s df ,

T'    Ty' U^X'^V)'

Przykład

Obhczyć pochodne cząstkowe funkcji

a) f(x, y) = x²y³ + x siny, b) f(x, z) = x²z + x + e^z.

Rozwiązanie.

a)

df 3    df 2 2

— = 2ary° + siny,    —• = 2>x y + a: cos y;

ox    dy

Różniczką funkcje dowolny przyrost c: dijferentia = różm:

b)

Różniczkę funkc;: Tina rysunku 23 prre-AC do wykresu w kąta ABC otrzyma: Ale AB = Az = pochodnej y⁷ w ?— = y'dx = dy. Rór zatem główną cręa Ay = BM: jest ~ bhżoną przyrostu r żenie to jest tym i jest wartość dz.