CCF20090321054

9

prawdopodobieństwo zmienia się w pewność

(52) pewność i błąd

Zagadnienie błędu zajmowało filozofów od najwcześniejszej starożytności. Jak to trafnie wyraził jeden z wielkich filozofów greckich, człowiek, który błądzi, błądzi podwójnie, bo nie zna właściwej odpowiedzi i nie wie, że jej nie zna. Niewiedza tego.drugiego rodzaju jest szczególnie niebezpieczna, albowiem wewnętrzne przeświadczenie kogoś, kto mylnie sądzi, że wie, bywa równie silne, jak przeświadczenie kogoś, kto wie i nie myli się. Wszystkim nam dobrze wiadomo, że jesteśmy narażeni na omyłki i że mylimy się czasem w najlepszej*wierze. Powinno nas to prowadzić do wniosku, że istnieje pewne różne od zera prawdopodobieństwo, iż ktoś, kogo nie podejrzewamy wcale o chęć wprowadzenia nas w błąd, udziela nam informacji fałszywej. Powrócimy do tej kwestii w następnym paragrafie; tutaj zaś chcemy zatrzymać się na tych przypadkach, kiedy mamy uzasadnione poczucie niezachwianej pewności co do pewnych prawd.

Rozróżnimy dwie kategorie prawd: prawdy matematyczne i prawdy praktyczne; zaczniemy od tych pierwszych.

Banalnym, powszechnie cytowanym przykładem prawdy matematycznej jest stwierdzenie, że dwa 112

plus dwa równa się cztery; niektórzy oponują twierdząc, że jest to po prostu definicja, nie zaś prawda we właściwym tego słowa znaczeniu. W rzeczywistości jednak liczbę 4 definiuje się jako 3 -f 1, a 3 jako 2 -b 1, toteż stwierdzenie, że 2 plus 2 równa się 4, wymaga pewnego, bardzo zresztą krótkiego, dowodu. Najbardziej nawet skomplikowane dowody matematyczne są to, podobnie jak ten elementarny dowód, pewne łańcuchy zupełnie prostych sylogizmów. Chodzi zatem tylko o sprawdzenie, czy do takiego, niekiedy bardzo skomplikowanego, łańcucha nie wkradł się jakiś błąd. Żeby poprzestać na pospolitym przykładzie, wykonywana przez dobrego rachmistrza operacja dodawania trzydziestu liczb sześciocyfrowych jest równie prosta jak to, że 2 plus 2 równa się 4, a jednak otrzymamy nieraz wynik błędny, choćbyśmy nawet wykonali działania dwukrotnie.

Jedyna racja, dla której dowiedzione fakty matematyczne (na przykład fakt, że powierzchnia kuli jest czterokrotnie większa od powierzchni jej koła wielkiego) traktujemy jako pewne, polega na tym, że dowody były powtarzane i weryfikowane przez wiele osób, przez tysiące, a nawet miliony osób w przypadku dowodów pochodzących od Euklidesa. Prawdopodobieństwo tego, iżby wszyscy ci ludzie popełnili ten sam błąd, jest oczywiście tak znikome, że nasza niezachwiana pewność jest w pełni usprawiedliwiona. W naszych czasach matematyk, który odkrywa nowe twierdzenie, publikuje je w czasopiśmie drukowanym w setkach egzemplarzy. Toteż jest rzeczą ze wszech miar prawdopodobną, że wielu Czytelników zainteresuje się nowym rezultatem i sprawdzi dowód lub -nawet skonstruuje dowód nowy i prostszy. W ten sposób, po upływie pewnego czasu, nowe rezultaty zostają włączone do zbioru prawd niewątpliwych. Skądinąd, jest rzeczą zupełnie możliwą, rzekłbym nawet —- prawdopodobną, że pewne szczegółowe rezultaty, nie mające większego znaczenia, nie

8 Prawdopodobieństwo i pewność    113