CCF20140115025

92 / StcTan Turnau

matematycznego wyrobienia i wiedzy ucznia, może on stosować dla rozwiązania tych zadań różne strategie. Najprostszą, ale też nieracjonalną i nie zawsze doprowadzającą do rozwiązania, będzie strategia prób i błędów. W zadaniu (18) może na przykład na początku górnej części grafu napisać liczbę 44 i dobierać spośród pozostałych tę, którą może wpisać na drugim miejscu; będzie nią 88. Z kolei na trzecim miejscu wpisze liczbę 95, ale nie znajdzie liczby 190, którą w tej sytuacji należałoby wpisać na czwartym miejscu. Zacznie więc nową próbę rozmieszczania liczb.

Uczniowie o lepszym wyrobieniu matematycznym będą próbowali najpierw wywnioskować, którą liczbę należy wziąć na początek wykresu. Rozumowanie to może np. być następujące. Liczby umieszczone na początku wykresu muszą być mniejsze od liczb umieszczonych dalej. Jedną z nich jest więc na pewno 37. Nie można jej umieścić na początku górnego „węża”, bo za nią trzeba by napisać 74, której nie mamy. 37 musi więc być na początku dolnego „węża”. Po tej decyzji dalszy ciąg jest już łatwy.

Także w zadaniu (19) dzieci mogą zacząć od rysowania linii telefonicznych wychodzących ze stacji „5” na „chybił-trafił”, w nadziei, żc osiągną 55. Mogą też jednak przy swoim rozumować: ... doszedłem do stacji nr 80, muszę się więc cofnąć. Odjąć 10 czy podzielić przez 2? Je żeli podzielę przez 2, to wrócę z powrotem do 40, muszę więc odjąć 10 I Doszedłem do stacji 70 — jeszcze muszę się cofnąć ... To postępowanie pozwoli znaleźć różne ppłąćzenia, nie odpowie jednak na pytanie, czy I na pewno uzyskano najkrótsze. Inaczej będzie, gdy uczeń zastosuje postępowanie systematyczne, np. rysując drzewa połączeń rozpoczynające I Kys. 12    się w 5 i w 55 (rys. 12 i 13). „Najniższe” miejsce „zrośnięcia” się ga- I

K_Vs. 13    łęzi tych drzew (liczba 35) wskaże poszukiwane najkrótsze połączenie. I

Drzewo pozwoli też na dokonanie nowych ciekawych obserwacji, I które zrodzą nowe problemy:

—    gałęzie drzewa łączą tu tylko liczby podzielne przez 5; dlaczego I tak jest?

—    liczba 5 nie ma połączenia (nawet pośredniego) z żadną liczbą nie- I podzielną przez 5; dlaczego tak jest?

—    czy wychodząc od liczby 3 będziemy także dochodzić tylko do I liczb podzielnych przez 3?

—    czy liczba podzielną przez 5 ma połączenie z każdą inną liczbą po- 1 dzielną przez 5?

— czy dwie liczby mające wspólny dzielnik różny od 1 zawsze ma- I ją połączenie? Jeżeli nie, to co wystarczy wiedzieć o dwu liczbach, by być pewnym, że mają połączenie?

Oczywiście uczeń sam nie wpadnie na myśl rysowania drzewa czy : zastosowania innej metody systematycznego poszukiwania połączeń. Nie każdemu też nasuwają się związane z tym problemem dalsze pytania. Jednak każdy uczeń może próbować szukać rozwiązania i każdy ma szansę osiągnięcia małego sukcesu, choćby w postaci znalezienia jednego połączenia. A wówczas zupełnie inaczej przyjmie i zrozumie rozwiązanie systematyczne, pokazane mu przez innego ucznia lub nau- I czyciela, niż gdyby samodzielnego rozwiązania nie próbował wcale. Ta możliwość szukania rozwiązań na różnych poziomach jest cenną cechą pedagogiczną tego rodzaju problemów.

7.7. Równania i nierówności

7.7.1. Wstęp

Rozwiązując zadania matematyczne można często ułatwić sobie pracę odpowiadając na pewne ogólne pytania: Co jest niewiadome? Co jest dane? Jaki jest warunek? (G. Polya [M.24]). W zadaniach typu geometrycznego jest to zazwyczaj warunek na punkt lub układ punktów; w zadaniach algebraicznych warunek ten daje się zazwyczaj zapisać w formie równania, nierówności lub układu równań czy nierówności.

Często jest tak, że nie otrzymujemy równania z warunku słownego na drodze bezpośredniej, ale musimy ten warunek przetłumaczyć, zanalizować od strony formalnej. Na przykład w prostym zadaniu: „Znaleźć dwie liczby, z których jedna jest o 6 większa od drugiej i których suma jest równa 40” otrzymujemy natychmiast warunek

x + (x + 6) = 40.

Natomiast w zadaniu: „Bok prostokąta wynosi 3 cm, a pole 15 cm. Znaleźć drugi bok” jest już inna sytuacja. Rozwiązując to zadanie uczeń musi przypomnieć sobie wzór na pole i dokonać tłumaczenia warunku ,,pole prostokąta o bokach 3 i x” na: „iloczyn liczby 3 przez x jest równy 15”, co prowadzi do równania:

3 • x = 15.

Rozwiązując uzyskane równanie, a następnie zestawiając jego rozwiązanie z treścią zadania otrzymujemy odpowiedź na postawione w zadaniu pytanie. Umiejętność rozwiązywania równań jest warunkiem koniecznym do rozwiązywania dużej części zadań matematycznych.

Uczeń powinien rozumieć równanie jako „warunek na liczbę”. Rozwiązując je dziecko poszukuje takich liczb, które spełniają dany warunek, tzn. takich, że po podstawieniu ich za niewiadomą otrzyma zdanie prawdziwe. Na przykład mając równanie    ,

17 _ _y = 12

dziecko może podstawić różne liczby za y i obliczać za każdym razem różnicę 17 — y\ w ten sposób stwierdzi ono, że dla y — 5 otrzymuje ilę równość 17 — 5 = 12. A więc liczba 5 jest rozwiązaniem równania.

7.7.2.    Zapisywanie równań w klasach początkowych

W dawniejszym programie klas początkowych równania występowały w postaci zadań typu:

□ + 3 = 10.

Służyły one pogłębieniu rozumienia związków między działaniami i były pewną formą ćwiczeń rachunkowych, nie miały natomiast zastosowania jako matematyczne narzędzie do rozwiązywania zadań tekstowych.

Program z 1975 r. i nowe podręczniki wprowadziły tutaj zmiany polerujące głównie na tym, że znacznie wcześniej wprowadza się równania, stosuje się różne sposoby zapisu równań i różne sposoby ich roz-