CCF20140115014

70    / Stefan Turnau

Trudno powiedzieć, jakie działy matematyki i jakie zadania wyrabiają umiejętność takiego rozumowania, samodzielnego przeprowadzenia tego badania i wyciągnięcia z niego wniosków praktycznych. Pewne jest natomiast, że dobre nauczanie matematyki (i nie tylko matematyki) powinno umiejętności te kształcić. Sytuacje czysto matematyczne oraz sytuacje opisane w różnych zadaniach rozwiązywanych w szkole na lekcjach matematyki wymagają także schematyzowania, organizowania, porządkowania, racjonalizacji — postępowania towarzyszącego rozwiązywaniu wielu problemów praktycznych. Różnica polega jedynie na stopniu złożoności tych sytuacji: spotykane przez ucznia na lekcjach matematyki są daleko prostsze od tych, które występują w życiu.

7.6.2.    Zadania tekstowe w nowych podręcznikach

W klasach początkowych nietrudno o zadania prawdziwie praktyczne, a jednocześnie dostępne dla dzieci. Sytuacje opisane w zadaniach występujących w nowych podręcznikach na ogół mogłyby rzeczywiście wystąpić w życiu codziennym, a postawione w nich pytania zjawić się naprawdę. Oto przykłady.

(3) Jeżeli do kredek schowanych w pudelku dołożę 2 kredki, to razem będzie 10. Ile kredek jest schowanych w pudelku? ([PI. ZC], str. 58).

Fakt, że w pudełku brakuje 2 kredek jest łatwo widoczny bez liczenia. Wiadomo też, że pełne pudełko zawiera 10 kredek. Stąd można wywnioskować bez liczenia, że kredek jest w nim 10 — 2.

(4) Do Adama na urodziny przyszli zaprzyjaźnieni koledzy z klasy i 3 dziewczynki. Razem było 10 gości. Ilu kolegów przyszło do Adama?

Łatwo wyobrazić sobie sytuację, w której pytający pamięta liczbę 10 gości i wśród nich 3 dziewczynki; nie pamięta, ilu było chłopców. I tę interesującą go informację może z zapamiętanych danych wywnioskować.

Wiele nietrudnych zadań wziętych wprost z życia codziennego można formułować w związku z taryfami pocztowymi i rozkładami jazdy. Zadania takie znalazły się w [P3. TJ] wraz z potrzebnymi do nich tabelami (str. 178—181 i 186—187). Oto jedno z nich:

(5) Stenia nadała telegram zwykły, w którym było do opłacenia 18 wyrazów. Ile zapłaciła za nadanie tego telegramu?

Łatwo przeredagować to zadanie tak, by prezentowało autentyczny problem Steni.

Stenia ma nadać na poczcie telegram zwykły o następującej treści: (...) Ile pieniędzy musi ona przygotować na opłacenie telegramu?

Wymyślanie praktycznych zadań o nadawaniu telegramów, listów i paczek, a także o podróżach koleją nie jest trudne; może je tworzyć zarówno nauczyciel jak i uczniowie. Rozwiązywanie takich zadań można też zacząć wcześniej.

Jak widzieliśmy, nie wszystkie zadania znajdujące się w podręcznikach mają charakter problemów prawdziwie praktycznych. Sztuczność niektórych może być w rozmowie z dziećmi złagodzona, jednak jest wiele takich, których nie da się realistycznie zinterpretować. W takim przypadku jest pożądane, by fabuła takiego zadania nie sugerowała, że chodzi o problem praktyczny; lepiej by wyglądała na bajkę lub żart.

Niestety, zadania treści fikcyjnej zniknęły z podręczników niemal całkowicie i zostały zastąpione zadaniami udającymi życie. Oto zadanie [P3. TJ], str. 106):

(6)    Oranżadą, coca-colą i inne napoje przewozi sią w specjalnych transporterach■ Ile butelek mieści sią w takim transporterze, jeżeli w 9 transporterach znajduje sią 216 butelek?

Obliczanie w taki sposób liczby butelek w transporterze jest nonsensem. Gdyby zaś zadanie to mówiło o 216 krasnoludkach jadących na bal w 9 powozach — nikt niczemu by się nie dziwił. Podobnie, znane zadanie o baranach i gęsiach pasących się razem, gdzie z liczby nóg wnioskuje się o liczbie zwierząt, otrzymało w tym podręczniku (str. 107, zad. 14) współczesną wersję: barany zastąpiono samochodami, a gęsi motocyklami. Jako zadanie praktyczne nie ma ono sensu.

Zadania o treści anegdotycznej powinny powrócić na lekcje matematyki i zastąpić utrwalone tradycją zadania niby-praktyczne.

7.6.3.    Symulacja i matematyzacja

Zadanie, którego treść odnosi się do pojęć niematematycznych, może być rozwiązane z pomocą działań arytmetycznych lub bez nich. Zadanie:

(7)    Na górnej półce jest 9 książek. Ile jest na dolnej półce, jeżeli wszystkich książek jest 20?

można rozwiązać realizując opisaną sytuację. Wziąć 20 książek, położyć 9 z nich na górnej półce, resztę na dolnej półce, wreszcie policzyć książki na dolnej półce. Przy tym sposobie użycie matematyki ogranicza się do pojęcia liczby.

Prócz dosłownej realizacji sytuacji opisanej w zadaniu, można ją symulować (por. 7.8.5). Książki z zadania (7) można symulować np. zapałkami. Rozwiązanie polegać będzie na odliczeniu 20 zapałek, odliczeniu z nich 9 i odsunięciu np. na lewo (symulacja układania książek na górnej półce), wreszcie policzeniu pozostałych zapałek (symulujących książki na dolnej półce). Tu także nie korzystamy z działań arytmetycznych. Niewątpliwie jednak jest to droga bardziej wyrafinowana i trudniejsza, wymaga bowiem od rozwiązującego samodzielnego doboru materiału i takiego manipulowania nim, by symulacja była rzetelna, tj. by uzyskany wynik był prawdziwy dla sytuacji opisanej w zadaniu, a nie tylko dla sytuacji symulującej.

Dodajmy jeszcze, że rozwiązanie zadania w drodze symulacji jest możliwe nieraz w takich przypadkach, gdzie dosłowna realizacja opisanej sytuacji jest niewykonalna. Tak byłoby na przykład wówczas, gdyby zamiast o książkach mowa była w zadaniu o krowach na pastwisku.

Można wreszcie zauważyć, że sytuację występującą w powyższym zadaniu umiemy schematycznie opisać przy użyciu abstrakcyjnego pojęcia, jakim jest dodawanie. Opisem tym może być na przykład równanie

x + 9 = 20.

Równanie to rozwiążemy, posługując się którąkolwiek z nadających się do tego metod, a więc korzystając z matematyki. Rozwiązanie tego równania jest zarazem odpowiedzią na postawione w zadaniu pytanie. Opisywanie sytuacji konkretnej za pomocą pojęć matematycznych nazywamy jej matematyzacją, a otrzymany w wyniku matematyzacji opis — mo-