CCF20140115015

72 / Stefan Turnau

delem matematycznym tej sytuacji. Powyższe równanie jest więc modelem matematycznym sytuacji opisanej w zadaniu (7).

Rozwiązania zadania przez symulację i przez matematyzację mają pewne cechy wspólne. Zarówno model symulacyjny jak i model matematyczny przedstawiają rzeczywistość tylko schematycznie, zacierając lub fałszując wiele szczegółów. Symulacja lub matematyzacja tej samej sytuacji odpowiednia dla jednego zadania może być zupełnie niewłaściwa dla innego. Na przykład byłoby zupełnie niewłaściwe symulować zapałkami ustawienie książek, gdyby w grę wchodziły ich różne grubości. Także równanie

x + 9 = 20,

które jest rzetelnym modelem dla sytuacji opisanej w zadaniu (7), byłoby zupełnie nieodpowiednie jako model, gdyby w zadaniu tym zamiast podziału książek na półki: górną i dolną była mowa o książkach z ilustracjami i o książkach z baśniami; baśnie mogą bowiem być ilustrowane, więc suma liczby książek z ilustracjami i liczby książek z baśniami może się okazać większa od 20, mimo że wszystkich książek jest tylko 20. Przy rozwiązywaniu zadań źródłem błędu może być źle dobrany model symulacyjny lub model matematyczny. Dlatego m.in. rozwiązanie powinno być sprawdzone.

Symulacja może niekiedy być etapem pośrednim w procesie matema-tyzacji. Model symulacyjny jest z reguły prostszy od sytuacji danej w zadaniu, zawierający mniej nieistotnych szczegółów. Jest też zawsze poglądowy, tj. dostępny dla wzroku i manipulacji.

Dla symulacji używa się najczęściej materiałów standardowych, zawsze tych samych, a więc dobrze znanych, jak żetony, klocki, patyczki, rysunki odcinków i prostokątów itp. Sposób symulowania przyrostów, ubytków, podziałów itp. jest też na ogół taki sam. Wszystko to powoduje, że łatwiej zmatematyzować model symulacyjny niż oryginalną sytuację opisaną w zadaniu.

Zarówno symulacja jak modelowanie matematyczne są szeroko stosowanymi metodami rozwiązywania problemów w nauce, technice i gospodarce. Obie są niezastąpione i dopełniają się wzajemnie. Konstrukcja nowego mostu, tj. liczba, kształt, sposób połączenia jego elementów, mogą być obliczone, gdyż współcześni inżynierowie umieją problem tej konstrukcji zmatematyzować w sposób wystarczająco dokładny. Ale profilowania konstrukcji samolotu inżynierowie dokonują w tunelu aerodynamicznym, na odpowiednim modelu symulując lot samolotu, gdyż prawdziwa sytuacja jest zbyt skomplikowana, by dało się stworzyć dla niej wystarczająco rzetelny model matematyczny. We wszystkich dziedzinach dąży się jednak stale do coraz szerszego stosowania matematyki, tj. matematyzacji problemów. Rozwiązania uzyskane na drodze matematycznej są bowiem ogólniejsze i pod wieloma względami doskonalsze. Taki jest sens rozpowszechnionego i czasem opacznie rozumianego sloganu o powszechnym wkraczaniu matematyki do nauki i praktyki.

Jednym z głównych celów rozwiązywania przez uczniów na lekcjach matematyki zadań tekstowych powinno być doskonalenie przez nich umiejętności rozwiązywania problemów na drodze matematyzacji, a więc tworzenie dla nich modeli matematycznych, z szerokim wykorzystaniem symulacji jako etapu pośredniego i środka pomocniczego.

Zadania tekstowe i stosowanie pojęć matematycznych

7.6.4.    Dobór i kolejność zadań tekstowych w pracy z uczniami

Zajmijmy się sprawą doboru zadań i kolejności, w jakiej będą one proponowane uczniom.

Zalecenia, jakie znajdujemy w wielu opracowaniach metodycznych, można by streścić następująco, posługując się przy tym wprowadzoną w poprzednim ustępie terminologią (por. 7.8.4).

Zadania klasyfikuje się ze względu na odpowiadający im model matematyczny. Rozróżnia się więc zadania proste: „na dodawanie” (tj. takie, gdzie wielkość szukana jest sumą dwu wielkości danych), „na odejmowanie” itd., oraz zadania złożone (których model matematyczny zawiera co najmniej dwa działania); „na porównywanie różnicowe” (jedno z równań wiążących dwie wielkości ma postać x — y — a) i „na porównywanie ilorazowe”. Poszczególne typy mają jeszcze po kilka wariantów. Uczniowie rozwiązują niemal wyłącznie zadania wyróżnionych typów; ich rozwiązywanie powinien opanować każdy uczeń w klasie- Zadania nie dające się umieścić w tym schemacie, a więc wymagające odrębnej, indywidualnej matematyzacji, uważane są za trudne i dawane tylko lepszym uczniom z intencją szeroko rozumianego treningu umysłowego, a już nie dla opanowania metod rozwiązywania takich zadań.

Zadania jednego typu mają modele matematyczne jednakowe lub bardzo podobne; mówiąc inaczej, ich matematyczny sposób rozwiązania jest całkowicie lub niemal taki sam. Jeżeli więc uczeń prawidłowo rozpozna typ zadania i pamięta sposób rozwiązywania zadań tego typu, to jego dalsze postępowanie będzie niemal automatyczne: odczytanie danych i wykonanie na nich wiadomych działań w wiadomej kolejności. Jednym z kanonów metodycznych było więc dotychczas rozpoznawanie typu.zadania jako pierwszy etap rozwiązania. E. Stucki ([M.34], str. 120) następująco charakteryzuje tę metodykę: „Przed przystąpieniem do rozwiązania, a po zapoznaniu uczniów z treścią, polecono im rozpoznać typ zadania i jego strukturę. Uczeń określał zadanie następująco: jest to zadanie na porównywanie różnicowe, w którym dana jest pierwsza wielkość i porównywanie różnicowe drugiej wielkości z pierwszą, a obliczyć mamy sumę obydwu wielkości”.

Z założenia tego wynikały jednoznacznie wnioski dotyczące kolejności rozwiązywanych przez uczniów zadań: seria zadań typu A, potem seria zadań typu B, seria typu C itd., wreszcie seria zadań mieszanych zawierająca zadania opracowanych poprzednio typów. Taką z grubsza strukturę ma również część zadaniowa najnowszych podręczników dla klas początkowych.

Ta koncepcja metodyczna ma — w ramach obowiązującego systemu dydaktycznego — oczywistą zaletę: umożliwia wyuczenie większości uczniów rozwiązywania niektórych zadań, co może być łatwo sprawdzone za pomocą pisemnego sprawdzianu. Jednocześnie jednak jest ona sprzeczna ze sformułowanym wyżej celem, nie zmierza bowiem do doskonalenia umiejętności tworzenia modelu matematycznego, ale tylko jego dobierania spośród zaledwie kilku, jakie uczeń ma do dyspozycji. To tak, jakby kształcenie umiejętności dorabiania kluczy do zamków zastąpić ćwiczeniem w ich dobieraniu z gotowej kolekcji (por. Hawlicki [M.12], str. 131).