CCF20140115017

76

Stefan Turnau

2) kolejnego rozwiązania tych zadań prostych.

Dodajmy, że występujące w podręcznikach zadania złożone łańcuchowo w większości Składają się z dwu zadań prostych.

Właściwe zadania złożone charakteryzują się tym, że co najmniej dwa warunki zadania określają związki między niewiadomymi. Oto przykład:

(10)    Obwód pewnego prostokąta wynosi 32 cm. Jeden bok jest 3 razy krótszy od drugiego. Oblicz długość boku tego prostokąta ([P3. TJ], str. 116).

Niewiadomymi w tym zadaniu są długości boków (choć polecenie obliczenia dotyczy tylko jednego z nich); związki między tymi niewiadomymi są wyrażone zarówno pierwszym jak i drugim zdaniem w tym zadaniu. Warunki te w postaci zmatematyzowanej są równaniami, każde o dwu niewiadomych

2 • (x + y) — 32 i 3 • x = y,

których układ jest naturalnym modelem matematycznym tęgo zadania.

Ta naturalna matematyzacja nie prowadzi więc do rozkładu zadania na zadania proste. Dla osiągnięcia tego konieczne jest znalezienie innego modelu, o czym będzie mowa w dalszym ciągu.

Zadanie (10) jest jednocześnie przykładem zadania na porównanie ilorazowe, jednego z dwu najczęściej występujących rodzajów właściwych zadań złożonych. Drugi z tych rodzajów — to zadania na porównywanie różnicowe, których przykład zaczerpniemy z [P3. TJ], str. 116:

(11)    Jeden bok prostokąta jest o 5 cm krótszy od drugiego. Jakie są długości boków tego prostokąta, jeżeli jego obwód wynosi 34 cm? Naturalnym modelem dla tego zadania będzie układ równań:

x + 5 — y i 2 • (x y) = 34.

Rozwiązywanie zadań złożonych łańcuchowo wymaga tylko umiejętnego zastosowania algorytmów rozwiązywania zadań prostych. Rozwiązywanie (nie schematyczne, ale w pełni samodzielne!) właściwych zadań złożonych wymaga pokonania zupełnie nowego rodzaju trudności; sama umiejętność rozwiązywania zadań złożonych łańcuchowo nie wystarczy. Właściwych zadań złożonych znajdziemy też w podręcznikach klas początkowych niewiele; w [P3. TJ] jest ich zaledwie kilka.

Aby zobaczyć, na czym polega najważniejsza trudność przy rozwiązywaniu właściwych zadań złożonych, wróćmy do zadania (10). Zmienimy drogę matematyzacji tego zadania tak, by otrzymać jego rozkład na ciąg zadań prostych. Stanie się to za cenę zwiększenia liczby niewiadomych, a co za tym idzie, także liczby wiążących je warunków.

Zbudujmy z patyczków model prostokąta, którego jeden bok jest 3 Rys. 2a razy dłuższy od drugiego (rys. 2a). Przesuńmy teraz patyczki tak, by Rys. 2b otrzymać figurę taką jak na rysunku 2b. Możemy zastąpić w ten sposób prostokąt o bokach długości x, y wielokątem o tym samym obwodzie, którego wszystkie boki mają długość x. Zadanie (10) możemy zatem rozłożyć ną następujące zadania proste:

1)    Jeden bok prostokąta jest 3 razy krótszy od drugiego. Ile wynosi liczba n boków wielokąta, którego wszystkie boki są tej samej długości co krótszy z boków prostokąta, a obwód równy obwodowi prostokąta?

2)    Wielokąt o n bokach ma obwód równy 32 cm. Jaka jest długość x boku tego wielokąta?

3) Jeden bok prostokąta jest 3 razy krótszy od drugiego. Krótszy bok ma długość x. Jaką długość y ma dłuższy bok?

W postaci zalgebraizowanej zadania te przyjmą formę równań:

1)    1 + 3 + 1 + 3 = n,

2)    n ■ x = 32,

3)    y — 3 • x.

Konstrukcja (samodzielna, a nie podyktow; la schematem!) pierwszego zadania tego ciągu jest aktem twórczym. Nie podsuwa jej bowiem w najmniejszym nawet stopniu tekst zadania; trzeba na nią „wpaść”. Często bywa, że osoba dorosła umie zadanie rozwiązać swoim sposobem (najczęściej algebraicznie), a więc wie, jakie działania arytmetyczne należy kolejno wykonać, by otrzymać wynik, ale tego sposobu rozwią-

Rys. 2a

X

NHB

X