DSC00072 (3)

Rozwiązując układ równań

|(I+26+9|    /—5 ł2    «    , -

'--j=—'=Va² + h ,    3a + b + 7=6,

otrzymujemy dwa rozwiązania a_x = — 2, b_l — — i lub a₂r=> — 9 I ₍ czyli dwa środki szukanych okręgów. Obliczając rf =«<if+fe**.5 j By =^, otrzymujemy dwa okręgi

(x+2)²+(y + l)² = S lub (x+^)²+(y-^‘)²=H2.

359. Środek (a, b) szukanego okręgu jest oddalony o 1 od danej p., stcj i od punktu A, tzn. jego współrzędne spełniają układ równań

|3n    4*21    «    «

-=!'*    (a + 5)^x+(b—3)^ł=« 11

Po rozwiązaniu tego układu otrzymujemy-5^— 5, 2) i    ||),

nieją zatem dwa okręgi spełniające warunki zadania:

(x+5)^ł+(y-2)²-l lub (x+^£)²4-(y-ff)²«=l.

360. Szukany okrąg ma równanie postaci x²-f(y —b)^a=*5. Wielkość b wyznaczymy z warunku odległości środka szukanego okręgu od danej .    |2b —1|    ,

prostej, tzn. ^!—Stąd b. =3, b_t — — 2. Mamy zatem dwa okręgi V*

spełniające warunki zadania:

x²+(y-3)²«5 lub x²+(y+2)²-5.

361.    S jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych danego trójkąta, tzn. S( —1,2).

362.    Równanie x²4-y²4-2x--2y---23 + A(x² 4-y² — 6x+12y—35)=0 jest równaniem okręgu przechodząc co przez punkty przecięcia okręgów danych, ponieważ, jak łatwo wykazać współrzędne punktów przecięcia spełniają to równanie. Podstawiając za a i y współrzędne punktu A, otrzymujemy

— j, co z kolei daje okrąg

-    x² + y²+6x —9y—17=0,

spełniający warunki zadania.

363.    x*4-y²—9x+8y—45=0.

364.    Odejmując stronami równania danych okręgów otrzymujemy ri*^-

r ^ie prostej x+y—1=0. Łatwo zauważyć, że jest to prosta spełniająca _w8iunki zadania, ponieważ punkty przecięcia danych okręgów apełnu^ą :_ej równanie.

365.1 metoda. Poprowadźmy przez punkt .4(0,2) prostą | współ* gjynniku kątowym m, tzn. y=mx+2. Wyrugujmy z tego równania i równania okręgu zmienną y otrzymując po odpowiednim zgrupowaniu

(m² + l)x²+4mx+3=Q.

Dla d=4m² —12=0 otrzymujemy warunek styczności, a więc dla lub m₂= -y/3 otrzymujemy dwie proste styczne

y=s/3x+2 lub    y—--J3x+2.

Uwaga. Metoda ta nie uwzględnia ewentualnych stycznych równoległych do osi Oy.

II metoda. Niech będzie dany okrąg (x—«)*+(y—i)^ł*r². Prosta (x-a)(x'-a)+(y-b)(y'—b)—r² jest prostą styczną do tego okraju, przy czym x' i y' oznaczają współrzędne punktu styczności. W zadaniu prosta styczna ma równanie

P' 01)    xx'+y/=l. cfy

Z warunku przechodzenia tej prostej przez punkt A otrzymujemy związek 2/=l. Punkt Hyczności (x\ y') spełnia ponadto równanie okręgu, tj. x'² +/² = I. Z równań tych otrzymujemy dwa punkty styczności (|^3,|) i (-|i/3, |). Wstawiając współrzędne tych punktów do równani#(|^^|^| h mujemy dwie szukaac proste styczne

y= — _n/3x+2 lub y—y/3x+2.

366.    I metoda. Równanie stycznej do okręgu x²-f y² ttltmyi przedstawić w postaci (por. zadanie 365) xx'+y/ = 10, gdzie^:00^Ę^ cza punkt styczności, a więc równanie stycznej w punkcie (1,3) jat x+3y=10.

II metoda. Szukana styczna jest prostopadła do promietiMMNH środek okręgu z punktem A. Jej współczynnik kierunkowy -j. Stąd otrzymujemy równanie stycznej ,x+iy—10«(k przez punkt    HI

367. 2x+y—B—0, x-2y+ll=0.    ■

368.    I metoda. Równanie dowolnej prostej równoległej do prostej

I