DSC00860 (4)

4. Estymacja punktowa i przedziałowa 4.1. Estymacja punktowa

Najczęściej używanymi w praktyce estymatorami są estymatory podstawowych parametrów populacji, a więc wartości oczekiwanej i wariancji (odchylenia standardowego).

4.1.1. Estymacja punktowa wartości oczekiwanej

Załóżmy, że dysponujemy wynikami x_u .......x_m czyli n-elementową próbą

pobraną z pewnej populacji zmiennej losowej ciągłej X o rozkładzie J{x). Ze względu na nieprzeliczalność elementów populacji wartości x, mogą być traktowane jako realizacje niezależnych zmiennych losowych X_t o tym samym rozkładzie. Wartość oczekiwaną zmiennej losowej X estymuje się punktowo za pomocą średniej arytmetycznej'.

(4.1)

przy czym można wykazać, że estymator ten jest nieobcicpony. Wyznaczmy w tym celu wartość oczekiwaną zmiennej losowej X, która wynosi:

e{x)=-[e{X_x)+ E{X₂)+... + E{X_n)} = ?^± = |(X)    (4.2)

n    n

ponieważ wartości oczekiwane każdej z niezależnych zmiennych X, są jednakowe, czyli EiXd=E(X).

Nieobciążoność estymatora jest bardzo ważną jego cechą, bowiem tylko taki estymator daje oszacowanie nieznanej wartości parametru bez błędu systematycznego. W teorii statystyki matematycznej dowodzi się, że średnia arytmetyczna jako estymator wartości oczekiwanej oprócz nieobciążoności jest jeszcze estymatorem zgodnym i najefektywniejszym.