Robotyka
Zadania
Metody
Algorytmy
Zakończenie
Zadania, metody i algorytmy robotyki - strona tytułowa
Prezentacja na seminarium dyplomowe 21.11.2011.
Autor prezentacji: Marcin Bodych.
Zainteresowania autora:
cyfrowe przetwarzanie sygnałów
medyczne zastosowania rozpoznawania obrazów
matematyka
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka
Zadania
Geneza
Metody
Definicje
Algorytmy
Zakończenie
Ojciec cybernetyki
Norbert Wiener, matematyk amerykański, którego ojciec
pochodził z Polski.
 Cybernetic or Control and Communication in the Animal and
the Machine 1947.
 The Human Use of Human Beings 1950.
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka
Zadania
Geneza
Metody
Definicje
Algorytmy
Zakończenie
Prawa robotów Asimova
1
Robot nie może skrzywdzić człowieka, ani przez zaniechanie
działania dopuścić, aby człowiek doznał krzywdy.
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka
Zadania
Geneza
Metody
Definicje
Algorytmy
Zakończenie
Prawa robotów Asimova
1
Robot nie może skrzywdzić człowieka, ani przez zaniechanie
działania dopuścić, aby człowiek doznał krzywdy.
2
Robot musi być posłuszny rozkazom człowieka, chyba że stoją
one w sprzeczności z Pierwszym Prawem.
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka
Zadania
Geneza
Metody
Definicje
Algorytmy
Zakończenie
Prawa robotów Asimova
1
Robot nie może skrzywdzić człowieka, ani przez zaniechanie
działania dopuścić, aby człowiek doznał krzywdy.
2
Robot musi być posłuszny rozkazom człowieka, chyba że stoją
one w sprzeczności z Pierwszym Prawem.
3
Robot musi chronić sam siebie, jeśli tylko nie stoi to w
sprzeczności z Pierwszym lub Drugim Prawem.
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka
Zadania
Geneza
Metody
Definicje
Algorytmy
Zakończenie
Prawa robotów Asimova
0
Robot nie może skrzywdzić ludzkości, lub poprzez
zaniechanie działania doprowadzić do uszczerbku dla
ludzkości.
1
Robot nie może skrzywdzić człowieka, ani przez zaniechanie
działania dopuścić, aby człowiek doznał krzywdy.
2
Robot musi być posłuszny rozkazom człowieka, chyba że stoją
one w sprzeczności z Pierwszym Prawem.
3
Robot musi chronić sam siebie, jeśli tylko nie stoi to w
sprzeczności z Pierwszym lub Drugim Prawem.
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka
Zadania
Geneza
Metody
Definicje
Algorytmy
Zakończenie
Podział robotyki
Robotyka teoretyczna
Robotyka przemysłowa (zastosowanie robotów i
manipulatorów w przemyśle i budownictwie)
Robotyka medyczna i rehabilitacyjna: roboty chirurgiczne,
rehabilitacyjne, protetyka
Robotyka maszyn mobilnych
kołowych
kroczących
latających
podwodnych
kosmicznych
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka
Zadania
Geneza
Metody
Definicje
Algorytmy
Zakończenie
Robotyka
Interdyscyplinarna dziedzina nauki i techniki na styku mechaniki,
automatyki, cybernetyki, informatyki i elektroniki.
Zajmuje się wszystkimi problemami dotyczącymi mechaniki,
sterowania, sensoryki, IT, projektowania, zastosowań, eksploatacji
manipulatorów, robotów i maszyn kroczących.
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka
Zadania
Geneza
Metody
Definicje
Algorytmy
Zakończenie
Przestrzeń przegubowa
Inaczej wewnętrzna, konfiguracyjna. Przestrzeń zawierająca
sterowane zmienne stanu
q = (q1, q2, . . . , qm) " Q
Q - przestrzeń przegubowa.
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka
Zadania
Geneza
Metody
Definicje
Algorytmy
Zakończenie
Przestrzeń zadaniowa
Inaczej zewnętrzna, robocza. Przestrzeń w której definiuje się ruch.
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka
Zadania
Geneza
Metody
Definicje
Algorytmy
Zakończenie
Przestrzeń zadaniowa
Inaczej zewnętrzna, robocza. Przestrzeń w której definiuje się ruch.
�ł łł
x
�ł śł
Składa sie na nią wektor położenia T (q) = y " R3 względem
�ł �ł
z
jakiegoś ustalonego punktu
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka
Zadania
Geneza
Metody
Definicje
Algorytmy
Zakończenie
Przestrzeń zadaniowa
Inaczej zewnętrzna, robocza. Przestrzeń w której definiuje się ruch.
�ł łł
x
�ł śł
Składa sie na nią wektor położenia T (q) = y " R3 względem
�ł �ł
z
jakiegoś ustalonego punktu oraz macierz orientacji R(q) " SO(3)
względem pewnej ustalonej orientacji.
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka
Zadania
Geneza
Metody
Definicje
Algorytmy
Zakończenie
SO(3)
Przykład. Obrót układu o kąt ą względem osi X :
�ł łł
1 0 0
�ł śł
0 cos(ą) -sin(ą)
�ł �ł
0 sin(ą) cos(ą)
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka
Zadania
Geneza
Metody
Definicje
Algorytmy
Zakończenie
SO(3)
Przykład. Obrót układu o kąt ą względem osi X :
�ł łł
1 0 0
�ł śł
0 cos(ą) -sin(ą)
�ł �ł
0 sin(ą) cos(ą)
Macierze R " SO(3) mają następujące własności:
ortogonalne
detR = 1
RT = R-1
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka
Zadania
Geneza
Metody
Definicje
Algorytmy
Zakończenie
SO(3)
Przykład. Obrót układu o kąt ą względem osi X :
�ł łł
1 0 0
�ł śł
0 cos(ą) -sin(ą)
�ł �ł
0 sin(ą) cos(ą)
Macierze R " SO(3) mają następujące własności:
ortogonalne
detR = 1
RT = R-1
czyli są to macierze unitarne.
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka
Zadania
Geneza
Metody
Definicje
Algorytmy
Zakończenie
Kinematyka manipulatora
Funkcja wyznaczająca położenie i orientację efektora względem
podstawy w zależności od położenia przegubów:

R(q) T (q)
K(q) =
0 1
K : Q SE(3)
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka
Zadania
Geneza
Metody
Definicje
Algorytmy
Zakończenie
Kinematyka manipulatora
Funkcja wyznaczająca położenie i orientację efektora względem
podstawy w zależności od położenia przegubów:

R(q) T (q)
K(q) =
0 1
K : Q SE(3) - specjalna grupa Euklidesowa.
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka Przegląd
Zadania Proste zadanie kinematyki
Metody Odwrotne zadanie kinematyki
Algorytmy Śledzenie trajektorii
Zakończenie Sterowanie optymalne
Zadania robotyki
Proste zadanie kinematyki,
Odwrotne zadanie kinematyki,
Zadanie śledzenia trajektorii zadaniowej,
Zadanie sterowania optymalnego,
...
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka Przegląd
Zadania Proste zadanie kinematyki
Metody Odwrotne zadanie kinematyki
Algorytmy Śledzenie trajektorii
Zakończenie Sterowanie optymalne
Proste zadanie kinematyki
Odwzorowanie opisu położenia manipulatora w przestrzeni
współrzędnych konfigurowalnych na opis przestrzeni współrzędnych
kartezjańskich.
K(q) = A1(q1) � � � � � An (qn) (1)
0 n-1
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka Przegląd
Zadania Proste zadanie kinematyki
Metody Odwrotne zadanie kinematyki
Algorytmy Śledzenie trajektorii
Zakończenie Sterowanie optymalne
Proste zadanie kinematyki
Odwzorowanie opisu położenia manipulatora w przestrzeni
współrzędnych konfigurowalnych na opis przestrzeni współrzędnych
kartezjańskich.
K(q) = A1(q1) � � � � � An (qn) (1)
0 n-1
Macierze Ai (qi) " SE(3) obliczamy posługując się algorytmem
i-1
Denavita-Hartenberga.
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka Przegląd
Zadania Proste zadanie kinematyki
Metody Odwrotne zadanie kinematyki
Algorytmy Śledzenie trajektorii
Zakończenie Sterowanie optymalne
Odwrotne zadanie kinematyki
Dana kinematyka y = k(q) i punkt yd w przestrzeni zadaniowej.
Znalez
ć qd, takie że yd = k(qd).
q " Rn, y " Rm, k : Rn Rm
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka Przegląd
Zadania Proste zadanie kinematyki
Metody Odwrotne zadanie kinematyki
Algorytmy Śledzenie trajektorii
Zakończenie Sterowanie optymalne
Odwrotne zadanie kinematyki
Dana kinematyka y = k(q) i punkt yd w przestrzeni zadaniowej.
Znalez
ć qd, takie że yd = k(qd).
q " Rn, y " Rm, k : Rn Rm
Metody rozwiązania:
Rozwiązanie analityczne (symboliczne)
Odpowiednik algorytmu Newtona
Algorytmy jakobianowe
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka Przegląd
Zadania Proste zadanie kinematyki
Metody Odwrotne zadanie kinematyki
Algorytmy Śledzenie trajektorii
Zakończenie Sterowanie optymalne
Zadanie śledzenia trajektorii zadaniowej
Dana jest yd(t) - pożądana trajektoria efektora.
Znalez
ć sterowanie u(t), takie że y(t) = k(q(t)) yd(t).
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka Przegląd
Zadania Proste zadanie kinematyki
Metody Odwrotne zadanie kinematyki
Algorytmy Śledzenie trajektorii
Zakończenie Sterowanie optymalne
Zadanie sterowania optymalnego
Poszukujemy takiego sterowania dla danego układu, przy którym
spełnione zostaną pewne kryteria optymalności, jak np.:
minimum czasowe,
minimum energetyczne,
minimum średnio-kwadratowe.
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka
Przegląd
Zadania
Nawiasy Liego
Metody
II Metoda Lapunowa
Algorytmy
Metoda homotopii
Zakończenie
Przegląd metod
Metoda nawiasów Liego
II Metoda Lapunowa
Metoda homotopii
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka
Przegląd
Zadania
Nawiasy Liego
Metody
II Metoda Lapunowa
Algorytmy
Metoda homotopii
Zakończenie
Metoda nawiasów Liego
Określa, czy robot mobilny jest układem sterowalnym.
Zagadnienie związane z algebrą Liego.
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka
Przegląd
Zadania
Nawiasy Liego
Metody
II Metoda Lapunowa
Algorytmy
Metoda homotopii
Zakończenie
Szczegóły metody nawiasów Liego
Dany układ sterowania postaci x = fu1 + gu2, gdzie:
f , g - bazowe wektory
ui - sterowanie
x - pochodna po czasie z wektora q (współrzędnych
wewnętrznych).
Do wygenerowania następnego wektora bazowego posługujemy się
równaniem:
"g "f
[f , g] = f - g (2)
"q "q
Kolejne wektory generujemy dopóki nie będą rozpinać całej
przestrzeni. Jeśli to niemożliwe, układ jest niesterowalny.
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka
Przegląd
Zadania
Nawiasy Liego
Metody
II Metoda Lapunowa
Algorytmy
Metoda homotopii
Zakończenie
II Metoda Lapunowa
Za jej pomocą określamy stabilność punktu równowagi układu
nieliniowego. Wymaga skonsturowania funkcji V (x) takiej, że:
posiada ciągłe pochodne cząstkowe po x i t
V (xe, t) = 0 dla każdego t
V (x, t) > 0 dla każdego x = xe

Ł
V (x, t) 0
W literaturze jest to funkcja Lapunowa.
Jeśli układ posiada f. Lapunowa, to jest stabilny.
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka
Przegląd
Zadania
Nawiasy Liego
Metody
II Metoda Lapunowa
Algorytmy
Metoda homotopii
Zakończenie
Metoda homotopii
Dzięki niej rozwiązujemy odwrotne zadanie kinematyki.
Schemat:
1
F(x)=y
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka
Przegląd
Zadania
Nawiasy Liego
Metody
II Metoda Lapunowa
Algorytmy
Metoda homotopii
Zakończenie
Metoda homotopii
Dzięki niej rozwiązujemy odwrotne zadanie kinematyki.
Schemat:
1
F(x)=y
2
wybieramy
x " X : y = F (Ż)
Ż Ż x
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka
Przegląd
Zadania
Nawiasy Liego
Metody
II Metoda Lapunowa
Algorytmy
Metoda homotopii
Zakończenie
Metoda homotopii
Dzięki niej rozwiązujemy odwrotne zadanie kinematyki.
Schemat:
1
F(x)=y
2
wybieramy
x " X : y = F (Ż)
Ż Ż x
3
łączymy y z y ścieżką
Ż
Ą : [0, 1] Y
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka
Przegląd
Zadania
Nawiasy Liego
Metody
II Metoda Lapunowa
Algorytmy
Metoda homotopii
Zakończenie
Metoda homotopii
Dzięki niej rozwiązujemy odwrotne zadanie kinematyki.
Schemat:
1
F(x)=y
2
wybieramy
x " X : y = F (Ż)
Ż Ż x
3
łączymy y z y ścieżką
Ż
Ą : [0, 1] Y
4
podnosimy ścieżkę Ą do
ścieżki  : [0, 1] X , tak
by F ć%  = Ą (równanie
Ważewskiego)
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka Przegląd
Zadania D-H
Metody Algorytm Jakobianowy
Algorytmy Algorytm Taylora
Zakończenie Sterowanie predykcyjne
Najważniejsze algorytmy
Algorytm Denavita-Hartenberga
Algorytm typu jakobianowego
Algorytm Taylora
Algorytm sterowania predykcyjnego
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka Przegląd
Zadania D-H
Metody Algorytm Jakobianowy
Algorytmy Algorytm Taylora
Zakończenie Sterowanie predykcyjne
Algorytm Denavita-Hartenberga
Dzięki Algorytmowi D-H lokalny układ współrzędnych związany z
i-tym ramieniem zostaje rekurencyjnie sprowadzany do globalnego
układu współrzędnych.
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka Przegląd
Zadania D-H
Metody Algorytm Jakobianowy
Algorytmy Algorytm Taylora
Zakończenie Sterowanie predykcyjne
Algorytm Denavita-Hartenberga
Dzięki Algorytmowi D-H lokalny układ współrzędnych związany z
i-tym ramieniem zostaje rekurencyjnie sprowadzany do globalnego
układu współrzędnych. Pojedynczy krok procedury:
Ai (q) = Rot(Z , �i)Trans(Z, di)Trans(X , ai)Rot(X , ąi) (3)
i-1
przy czym ai, ąi są stałe.
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka Przegląd
Zadania D-H
Metody Algorytm Jakobianowy
Algorytmy Algorytm Taylora
Zakończenie Sterowanie predykcyjne
Algorytm typu jakobianowego
Do rozwiązania odwrotnego zadania kinematyki.
Iteracyjna modyfikacja wartości zmiennych wewnętrznych.
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka Przegląd
Zadania D-H
Metody Algorytm Jakobianowy
Algorytmy Algorytm Taylora
Zakończenie Sterowanie predykcyjne
Algorytm typu jakobianowego
Do rozwiązania odwrotnego zadania kinematyki.
Iteracyjna modyfikacja wartości zmiennych wewnętrznych.
Ogólna postać algorytmu typu jakobianu pseudoodwrotnego:
dq
= -łJ#(q)(k(q) - yd) + (J#(q)J(q) - In)�(q) (4)
�(q)"Rn
ds
gdzie J# = JT (J � JT )-1 jest odwrotnością Moore a - Penrose a
macierzy J - czyli pseudoodwrotnością jakobianu.
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka Przegląd
Zadania D-H
Metody Algorytm Jakobianowy
Algorytmy Algorytm Taylora
Zakończenie Sterowanie predykcyjne
Algorytm Taylora
Przeprowadzenie z zadaną dokładnością manipulatora z położenia
początkowego do końcowego wzdłuż zadanej ścieżki.
Taylor zauważył, że ramię robota porusza się najczęściej po łuku.
Inspiracją był dla niego sposób wieszania firan. Na początku
chwytamy krańce firany - tworzy się łuk. Następnie iteracyjnie
chwytane są środki łuków, dzieląc go na dwa mniejsze.
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka Przegląd
Zadania D-H
Metody Algorytm Jakobianowy
Algorytmy Algorytm Taylora
Zakończenie Sterowanie predykcyjne
Algorytm sterowania predykcyjnego
Cykliczne rozwiązywanie zadania sterowania optymalnego ze
skończonym horyzontem, przy aktualnie wyznaczonym, na
podstawie pomiarów, warunku początkowym.
Cechy regulacji predykcyjnej:
duża wrażliwość na zmiany struktury obiektu
mała wrażliwość na zmiany parametrów obiektu
skuteczne sterowanie systemami nieliniowymi
konieczne stworzenie modelu zachowania obiektu -
modelowanie i identyfikacja czasochłonne
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka
Zadania
Metody
Algorytmy
Zakończenie
Bibliografia
Zeszyt z notatkami z wykładu  Robotyka prof. K. Tchonia
Materiały starszego rocznika
http://rab.ict.pwr.wroc.pl/ lmalek/Projekty/homotopia.pdf
http://rab.ict.pwr.wroc.pl/ lmalek/Egzamin/2.pdf
http://pl.wikipedia.org/wiki/Sterowanie predykcyjne
http://pl.wikipedia.org/wiki/Metody Lapunowa
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki
Robotyka
Zadania
Metody
Algorytmy
Zakończenie
Dziękuję za uwagę!
l2
ćsin(�0 + �0) - �k2cos(�0 + k � �0) + �Źtg(�1 - �1) - l�0cos�0
Ł
k
 Jak nie wiadomo co robić, to trzeba różniczkować!
- prof. K. Tchoń (Uniwersalna zasada robotyki)
Marcin Bodych [e-mail] Zadania, metody i algorytmy robotyki