DSC07083 (4)

96

Pochodne funkcji

Rozwiązanie

a) Niech x = a oznacza miejsce lądowania oraz niech luk paraboli, po którym samolot podchodzi do lądowania, będzie opisany równaniem y = px + qx + r, gdzie x ^ a.

W miejscu lądowania musi być spełniony warunek y(a) = 0. Zatem pa + qa + r = 0. Ponieważ w miejscu lądowania samolot dotyka lotniska stycznie, więc y'(a) = 0. Stąd 2pa -f q = 0. Podstawiając ostatni warunek do poprzedniego otrzymamy r = pa⁷. Zatem luk paraboli opisany jest równaniem y = pz² — 2pax + pa = p(x — a) , gdzie x ^ a. Parametr a trajektorii lotu obliczymy wykorzystując informacje o położeniu samolotu przed lądowaniem. Mamy y(d) = h oraz y{D) = H. Zatem

f p(6000 — a)¹ = 100.

\ p(9000 — o)^a = 400.

Pb podziękrim równań stronami otrzymamy (    -) = 4, stąd o = 3000 m. Lądo>

\o000 — s/

sanie samolotu nastąpi w odległości a = 3 km od wieży lotniska, b") Niech brzeg bilardu będzie elipsą o równaniu

gdzie 0 < 6 < o. Wtedy ogniska tq eSpsy będą w punktach Fi(-c,0), Fa(c,0), gdae c = yJtP-lP. Niech P = (zo.yo). gdzie ze.ys > 0, będzie punktem elipsy, w który trafi kula wypuszczona z ogniska Fj.

Wtedy równanie prostej FjF ma postać a równanie stycznej do efipty w punkcie P postać

”o , Wo .

o>    - ^ł*

PofaiengNŻejaoste PF,. PFa tworzą jednakowe kąty ze styczną. Oznaczać to będzie, że “ ^poD~”“ ^b™6^u P«Odaie przez drugie ognisko elipsy. Kąty utworzone przez preste PFi, PFi ze styczną będą jednakowe wtedy I tylko wtedy, gdy punkty Fi, P oraz

Przykłady

97

fj, gdzie Fj jest punktem symetrycznym do Fj względem stycznej, będą leżały na jednej prostej. Łatwo obliczyć, ic punkt F‘i ma współrzędne

Pokażemy, ze wektory F\P, PF% są proporcjonalne, skąd już będzie wynikać, że punkty Fi, P, FJ są współ liniowe. Mamy

Łatwo teraz sprawdzić, że

Co należało pokazać.

• Przykład 4.6

a) Taśmociąg przenosi piasek z wydajnością w = lm³/min. Z piasku tworzy się

Obliczyć, z jaką prędkością wzrasta wysokość kopca w chwili, gdy osiągnie wysokość H = 3m;

b)    Balon wznosi się ze stalą prędkością v = 3m/s. Na dnie kosza balonu zamontowany jest aparat do zdjęć kartograficznych. Kąt widzenia aparatu jest równy 2q = 60°. Obliczyć, z jaką szybkością zmienia się pole fotografowanego obszaru, gdy balon jest na wysokości H = 30Óm;

c)    Krawędź sześciennej miedzianej kostki ma długość a = 5 cm. Sześcian ten jest ogrzewany równomiernie w czasie t = 10 min od temperatury To = 20° C do Ti = 120° C. Obliczyć, z jaką szybkością będzie zmieniać się objętość tej kostki po £₀ = 8 min ogrzewania. Współczynnik rozszerzalności liniowej miedzi wynosi A = 16 • 10“⁶1/G°.

Rozwiązanie

a) Niech R(t) i H{t) oznaczają odpowiednio promień podstawy i wysokość kopca w chwili t (rysunek).