DSCN1077 (2)

Znaleźć dwie funkcje f h określone w R₊ takie, że A [f(g(x)) — h(2p(x)) — x + x² = 0].

2.5.    Wykazać, że jeśli funkcja f:R-*R spełnia, dla każdego a, be R warunek:

f(ab)=f(a)f(b),

to /jest funkcją parzystą lub nieparzystą.

2.6.    Funkcje f:R -*R i g:R -+R są rosnące w całej dziedzinie.

Czy jest prawdą, że również funkcje h, m określone następująco:

h(x) = max(/fr), g(x)), m(x) = min(f(x), g{x)) są rosnące w R, jeśli

2.7.    Wykazać, że jeśli funkcja/jest niemalejąca i parzysta w zbiorze X, to jest w tym zbiorze stała.

2.8.    Wykazać, że jeśli funkcje fi g są rosnące (malejące) w zbiorze X, to funkcja h=f+gjest rosnąca (malejąca) w X.

2.9.    Wykazać, że jeśli funkcja f:R->R jest funkcją nieparzystą i okresową, o okresie s 0, to dla każdego ke C liczba x = ?ks jest miejscem zerowym funkcji /

2.10.    Udowodnić, że jeśli punkt P jest środkiem symetrii wykresu funkqi /: R -* R, to P należy do tego wykresu.

2.11.    Wykazać, że każda liczba wymierna różna od zera jest okresem funkcji D (funkcja Dirichleta) określonej następująco:

Zbadać czy istnieje liczba niewymierna, która jest okresem tej funkcji.

2.12. Zbadać ciągłość funkcji:

a) m =

(2x — 1 dlaxe W jl dlax£ W,

b)

dla x e W dla x$ W.

2.13. Niech /: R ->R, g:R-*R będą funkcjami określonymi następująco:

; 6_V i

rmax (5 — x,-) dla x =£0

lal

g{x)

-1

min (5 — x,-) dla x ^0 dla x = 0

Sporządzić szkice wykresów funkcji / i g. Zbadać ich mono-toniczność i ciągłość.

2.14.    Funkcja f:N->N określona jest wzorem:

/M = n+(—irjYJ,

gdzie [a] oznacza część całkowitą liczby a.

Wyznaczyć zbiór wartości funkcji / zakładając, że OeN i zbadać czy /jest funkcją monofoniczną.

2.15.    Funkcja f:N-*Nokreślona jest wzorem:

a)    Wykazać, że zbiorem wartości funkcji / jest N.

b)    Rozwiązać równanie f{n) = 50.

2.16. Funkcja f: N-+N określona jest wzorem:

WmMrn ⁿ

11