2500336032

(b) ([16], str. 115) Znaleźć wszystkie macierze X przemienne z macierzą A, tzn. takie,

że AX = XA dla	A	= \	1	2
			3	4
To samo wykonać dla		0	1	0	0
		0	0	1	0
	~	0	0	0	1
		0	0	0	0

(c) Niech macierz AB będzie macierzą zerową. Wykazać, że stąd nie wynika, że co najmniej jedna z macierzy A i B musi być macierzą zerową? Odpowiedź zilustrować przykładami. Wskazówka. Na przykład rozwiązać równanie macierzowe

1 0 0 0

Zadanie 1.6

(a) Zakładamy, że det (A) = —5. Obliczyć det (3A), det(2^4 ¹), det((2.A) ¹).

(b)    ([12], str. 98) Jakie są możliwe wartości wyznacznika macierzy A stopnia n, jeśli

a) A² = SA-¹,    (b) .4³-.4 = 0,    (c) A^r = 4A~¹?

(c)    Podać przykład niezerowej macierzy stopnia 4, której wyznacznik jest równy zero.

(d)    Podać przykład macierzy A i B takich, że det(A + B) ^ det(yl) + det(B) oraz takich, że zachodzi równość.

(e)    Niech A G M^nXn i p G R Wykazać, że pA = diag (p, ■ ■ ■ ,p)A i korzystając z twierdzenia Cauchy’ego udowodnić, że det(pA) — pⁿdet(A).

Uwaga. Napis diag (di,    ... ,d_n) oznacza macierz przekątniową stopnia n z ele

mentami di,..., dn na głównej przekątnej.

(f)    ([1], str. 84) Niech

	a b c		a g d
A =	d e f	, B =	b h e
	ghs		c s f

Jaki jest związek między wyznacznikami macierzy A i BI

(g) ([1], str. 84) Bez bezpośredniego obliczania wyznacznika wykazać, że dla x = 0 i x — 2 poniższy wyznacznik jest równy zero

X^2	X	2
2	1	1
0	0 -5

(h) ([15], str. 34) Obliczyć (bez rozwijania) wyznacznik

x    y    z    1

y    z    x    1

z    x    y    1

i(x + z) \{x + y) \{y + z) 1

8