267 (16)

534

20. Rlcmcnty analizy macierzowej obwodów

oraz macierz dołączoną wynosi

adjt.st - A) •

■² 21

3 s- IJ

a stad

adj(.sl-A)    1

(sl — A)"¹ = —--=-

dctt.sl — A) (s+l)(s —4)

Po obliczeniu oryginału każdego wyrazu tej macierzy, otrzymujemy

^{2 2}1

3 s — 1J

<l>(f) = ¥~^l {(sl—A)^-1} =

3	i	t	*>
-e	' + -e^4'	——c~	' + -e^4'
5	5	5	5
3 —e	' + -e^4'	2 -e '	3 ' + -e^4'
5	5	5	5

c’T —3    2] _e⁴'[2    2]

—Tl 3 -rj+lb ,]•

Wynik jest taki sam jak w p. 20.6.3.

20.7.3. Modelowanie cyfrowe równania stanu

Niech x„ oznacza wartość wektora stanu w chwili t„ = nh, n = 0, 1, 2,.... Podstawiając t_n = nh do wzoru (20.43), otrzymujemy

nh

x„ = e^A"*x₀+ } e^A(B*^_<,Be(T)dt,    (20.48)

O

a stąd

(m- 1 )/i    nh

x„ = e^A'^,[e^A,n“^1,'^,x₀+ f e^A[,n-1,'^,'^r!Be(T)dT]+ j e^A(n,,"^r)Be(t)dT.

O    (n - 1 \h

7. porównania wyrażenia zawartego w nawiasach kwadratowych ze wzorem (20.48) wynika, że jest ono równe x„ ,. wobec tego

nh

x, = e^A\.₁+ J _e^A<"*"^,,Be(t)dT.    (20.49)

<n-l)fc

Całkę występującą w tej zależności obliczamy jako pole „paska” o szerokości h i wysokości równej rzędnej funkcji podcałkowej w punkcie z = nh. wobec tego

nh

j- _eA.<n/«-D [j_e(_x)_Ci_T ~ (te^A0Be(n/i) = (iBe„.

(n - 1 )h

Błąd popełniany w tym przybliżeniu można zmniejszyć, stosując lepszą kwadraturę całki, na przykład wzór Simpsona [43].

W wyniku otrzymuje się wzór rekurencyjny

x„ = e^A'^Ix_n_, + hBe_n, n = 1, 2..... (20.50)

który pozwala obliczać wartości wektora stanu w kolejnych chwilach na podstawie poprzedniego kroku obliczeń, a obliczenie rozpoczyna się od n = 1, przy czym x„ jest

znaną wartością początkową. Wzór (20.501 jest bardzo wygodny do obliczeń na maszynach cyfrowych.

Występującą w zależności (20.50) macierz tranzycyjną oblicza się ze wzoru

*A h

= Z

* = o

A ^kh^k

~kT'

zatrzymując w tym szeregu skończoną liczbę wyrazów. Obliczenie tej macierzy wykonuje się również przy zastosowaniu maszyn cyfrowych.

Przedstawiona metoda jest przybliżona, a popełnione błędy można oszacować przy zastosowaniu metod analizy funkcjonalnej [5].

20.8. Dyskretne równania stanu

Niech \_k. \_k. e_k oznaczają odpowiednio wartości wektora stanu, wektora

odpowiedzi i wektora wymuszeń w dyskretnych chwilach l_k = kh, k = 0, 1, 2,____

Tworzą one ciągi {x_Ł}, {y_fc} i {e*}, których elementami są wektory przedstawione w postaci macierzy kolumnowych.

W celu otrzymania dyskretnych równań stanu na podstawie równań dotyczących układów z czasem ciągłym przekształcamy całkę w zależności (20.49), przyjmując nową zmienną całkowania £ = nh — x; znajdujemy

nh    h

j e^A<n*^_0Be(t)dT = Je^A'Be(n/i — C)d£.

(n— 1 )h    O

Otrzymaną całkę obliczamy w sposób przybliżony, zakładając, że w przedziale całkowania e(nh — ę) ~ e((n— 1)/?) = e„_,, wobec tego w przybliżeniu

nh

j gAinfc - r) 3e(r)dt = Be„_!,

In I Ul h

gdzie B = Je^A;Bdę. Po wprowadzeniu ponadto oznaczenia A = e^A* oraz n = k+1,

o

równanie (20.49) przybiera postać

x_{lt + 1} = Ax_k + Be_t.    (20.51)

Wzór na odpowiedź układu dotyczy tej samej chwili t_k, więc zgodnie z zależnością (20.24)

y_k = C\_k + De_k.    (20.52)

Zależności (20.51) i (20.52) przedstawiają dyskretne równania stanu. Równania te można stosować przy obliczeniach na maszynach cyfrowych. Macierz A jest kwadratowa, macierze B, C. D są prostokątne, przy czym macierze C i D są takie same jak dla układów z czasem ciągłym.