255 (17)

510 20. Elementy analizy macierzowej obwodów

Zbiór wszystkich prądów gałęziowych oraz napięć gałęziowych obwodu przedstawimy w postaci macierzy kolumnowych o n elementach:

Macierze te zwane są odpowiednio wektorem prądów lub macierzą prądów gałęziowych i wektorem napięć gałęziowych lub macierzą napięć gałęziowych. Macierze te są zdeterminowane dla danego obwodu przez przyjęcie numeracji gałęzi tego obwodu.

20.2.2 I prawo Kirchhoffa

Dla obwodu zawierającego a węzłów można na podstawie I prawa Kirchhoffa napisać p = a — 1 równań liniowo niezależnych dla wszystkich węzłów niezależnych, otrzymanych przy pominięciu jednego dowolnego węzła, np. węzła oznaczonego literą a.

Rozpatrzymy macierz prostokątną o wymiarze pxn

A = [a„],

przy czym i = 1,2.....p oraz j = 1,2,n. Liczba wierszy tej macierzy odpowiada

liczbie węzłów niezależnych, a liczba kolumn — liczbie gałęzi obwodu. Elementy macierzy A określamy w sposób następujący:

a_u = 1, gdy gałąź j dołączona jest do węzła i, a prąd gałęziowy /_;(s) odpływa od tego węzła;

a_tj = — 1, gdy gałąź j dołączona jest do węzła i, a prąd gałęziowy /_y(s) dopływa do tego węzła;

a_y = 0, gdy gałąź j nie łączy się z węzłem i.

Macierz A nazywa się macierzą łączącą węzłową lub macierzą incydencji węzłową-, macierz tę układa się według schematu:

Gałęzie Węzły niezależne	1, 2,...,«
1		^a\\ °12 ^a\n
2		^a21 ^a22 ■" ^a2n
P		-^arl ^ap2 ■" ^apn -

przy czym wierszom odpowiadają węzły niezależne, a kolumnom — gałęzie o oznaczonych numerach.

Układ p = a — 1 równań liniowo niezależnych wynikających z I prawa Kirchhoffa można przedstawić w postaci macierzowej

Al = 0,    (20.2)

gdzie I jest wektorem prądów gałęziowych, a A — macierzą łączącą węzłową obwodu. Łatwo bowiem zauważyć, że powyższe równanie macierzowe przedstawia układ a—1 równań o ogólnej postaci

I o_ulj(s) = 0

)= i

dla i = 1, 2,.... p, przy czym w tej sumie prądy odpływające od węzła i występują ze znakiem plus, prądy dopływające — ze znakiem minus, a gałęzie nie łączące się z węzłem i są wyeliminowane. Wzór (20.2) przedstawia I prawo Kirchhoffa w postaci macierzowej.

Jako węzeł odniesienia, pominięty przy układaniu macierzy łączącej węzłowej, można przyjąć dowolny węzeł obwodu, niekoniecznie węzeł oznaczony liczbą ot

Przykład I. Przyjmując, żc węzłem odniesienia w obwodzie z rys. 20.1 jest węzeł 2. otrzymujemy

macierz łączącą węzłową

	1	2	3	4	5	6
1	' 1	0	-1	1	0	0'
«n II <	-1	-1	0	0	-1	0
4	0	1	1	0	0	-1

przy czym z lewej strony macierzy zaznaczono numery węzłów niezależnych, a nad nią — numery gałęzi

obwodu.