268 (19)

5*6

20. Elementy analizy macierzowej obwodów

Przykład. Dane s;i równania stanu z czasem ciuttKr

śtH'¹ JM-EHJC:}

wyznaczymy dyskretne równania stanu.

Wartości własne macierzy

*■[1 -1]

_sł równe 2, = —2,    = —3. W prosty sposób znajdujemy

- r

_w<bec tego

[_c-2h    2h _ - 3fc“"|

,! .

0    e~³‘

pnadto po wykonaniu elementarnych przekształceń otrzymujemy:

B = Je^A{Bdy =

6 2^{6    +}3^C

1(1 -c-³*)

^skrętne równania stanu przybierają zatem postać:

x_t

-[■

y»^:

I 2 4 7

x_Ł +

1 1

6~2^C

-(I —e'^3ł)

^e*.

p^;y czym e_t = e_t.

Rozwiążemy dyskretne równanie stanu (20.51) z warunkiem początkowym x₀. pzyjmując k — 0 w (20.51), otrzymuje się

x, = Ax₀ + Be₀.

pdstawiając kolejno k = 1, 2,... do (20.51) i wykorzystując wynik poprzedniego _etpu obliczeń, znajdujemy

x₂ = Axj + Be, = A²x₀ + ABe₀ + Be,,

x₃ = Ax₂ + Be₂ = A³x₀ + A²Be₀ +ABe, + Be₂,

1a pomocą metody indukcji matematycznej dowodzi się, że prawdziwy jest wzór

ogólny:

k- i

\_k = A*x₀+ £ A*~‘~¹ Be,.    (20.53)

i = 0

Wzór ten znajduje zastosowanie przy wykonywaniu obliczeń na maszynach cyfrowych. Wzór (20.53) można również otrzymać, rozwiązując dyskretne równanie stanu (20.51) przy zastosowaniu przekształcenia 3 [18].