261 (16)

522 20. Elementy analizy macierzowej obwodów

Równanie macierzowe (20.16) przedstawia równania oczkowe obwodu w postaci macierzowej, a Z₀, E₀ oznaczają odpowiednio macierz impedancji Oczkowych oraz wektor Oczkowych napięć źródłowych (por. p. 12.8.1).

Przykład. Wyznaczymy macierz impedancji Oczkowych Z₀ oraz wektor Oczkowych napięć źródłowych dla obwodu z rys. 20.4.

1

2

Rys. 20.5. Graf obwodu z rys. 20.4

Graf obwodu z rys. 20.4 podano na rys. 20.5, wobec tego macierz łącząca oczkowa dla rozpatrywanego obwodu wynosi

1 2

b-T¹ 0 '1.

2L0 1 -rj

Macierz impedancji gałęziowych dla rozpatrywanego obwodu podana jest w przykładzie 2 w p. 20.3.1. Zgodnie z wzorem (20.17) mamy

_ TZ^sj + ZjlsJ + sfL, +L₃ |_    -a-Z₃(.s)-s(L₃ + /

Z,(s)+s'L, 0 sM		1	0'
0 Z2(s) -3t		0	1
sM PZ2(sj Z3(.s) + sL3		1	-1
Z^.sj + sfZ^ + Af) -sM —a Z2(s)+a
Z3(s) + s(L3 + W) /7Z2(5) — Zj(i)	—sL3

+ 2M) 0Z₂(s)-Z₃(s)-s(L M) (1 —p)Z₂(s) + Z₃(s)+sL

₃ + M) 1

j7.₃ + orJ

Otrzymana macierz impedancji Oczkowych jest niesymetryczna.

Wektor gałęziowych napięć źródłowych dla rozpatrywanego obwodu wynosi

E(s)

E =

0

0 wobec tego na podstawie wzoru (20.18) otrzymujemy

Ogólnie, macierz impedancji Oczkowych jest symetryczna, gdy obwód zawiera cewki magnetycznie sprzężone, a niesymetryczna, gdy obwód zawiera źródła

sterowane.

Równanie oczkowe można często otrzymać prościej, układając równania dla wszystkich oczek obwodu na podstawie II prawa KirchhofTa i eliminując prądy w gałęziach wspólnych dla dwóch oczek po wprowadzeniu prądów Oczkowych. W celu ilustracji tego zagadnienia, zaleca się Czytelnikowi ułożenie tym sposobem równań dla obwodu z rys. 20.4.

Układanie równań Oczkowych dla obwodów nie zawierających ani cewek magnetycznie sprzężonych, ani też źródeł sterowanych jest proste, a metoda postępowania przedstawiona jest w p. 12.8.1.

20.4.2. Równania węzłowe

Równanie (20.12) mnożymy lewostronnie przez macierz łączącą A obwodu:

Al = AYU + AJ,

gdzie U, I i Y oznaczają odpowiednio macierze napięć, prądów i admitancji gałęziowych, a macierz J przedstawiona jest wzorem (20.14). Na podstawie I prawa KirchhofTa w postaci macierzowej mamy Al = 0, w związku z czym

AYU = -AJ.

Podstawiając do tego równania wzór (20.3) dla transformacji węzłowej, mamy

AYA'U₀ = - AJ.

Równanie to przedstawimy w postaci

Y0Uo = Jo.	(20.19)
Y0 = AYA^7,	(20.20)
J0= _AJ = — AYE	(20.21)

zgodnie ze wzorem (20.14).

Równanie (20.19) dotyczy napięć węzłowych obwodu, wobec tego przedstawia jego równania węzłowe w postaci macierzowej. Macierz Y₀ jest macierzą admitancji węzłowych, a J₀ — wektorem lub macierzą prądów węzłowych (por. p. 12.8.2). Macierz admitancji węzłowych jest macierzą kwadratową, a wektor prądów węzłowych — macierzą kolumnową.

Układanie równań węzłowych jest proste w przypadku obwodów nie zawierających cewek magnetycznie sprzężonych oraz źródeł sterowanych (por. p. 12.8.2).