32 (259)

1.5. Ślad macierzy,, forma kwadratowa, elementy analizy macierzowej, specjalne iloczyny i specjalne operacje na macierzach

Ślad macierzy

Śladem macierzy Ae3\^,l-^,Ł nazywamy wyrażenie

n

^Tr(^A)“2rf^a,v    (1-41)

I-I

czyli śladem macierzy A jest suma jej elementów przekątniowych.

Własności:

1- Tr(A) ~Tr(A⁷’)

2.    Tr(<; A) = cTr(A)

3.    Tr(A + B)=Tr(A) + Tr(B)

4.    Tr(A B} = Tr(B A)

5.    Tr( A B C D) = Tr{ (C D)(A B)} - Tr(D A B C), gdy istnieją odpowiednie iloczyny

6.    Tr(A) = /?(A), gdy A jest macierzą idempotentną

7.    X⁷ A X = Tr(A XX⁷ ), gdzie X jest wektorem kolumnowym

Forma kwadratowa

Formą kwadratową n zmiennych .v,,    .... x_n nazywamy następującą jed

norodną funkcję kwadratową tych zmiennych,

a n

^Vi-^rr^x,AX    (i.42)

*■=i >=•-1

gdzie X=[x_{,x₂......c„]⁷ . Macierz A o elementach nazywana jest macie

rzą formy kwadratowej. W tym podręczniku będziemy mówili tylko o takich formach kwadratowych, dla których A jest macierzą symetryczną o elementach rzeczywistych.

1.    Forma kwadratowa jest dodatnio określona, gdy X^rA X > 0 , natomiast ujemnie określona, gdy X^r A X < 0 (dla wszystkich niezerowych wektorów X).

2.    Przekształcenia liniowe form kwadratowych.

Niech X~BY, gdzie B jest macierzą nieosobliwą (Y = B^_1X). Wówczas formą kwadratową nowego wektora Y jest

x^r A X -> Y⁷ B⁷ A B Y = Y^rC Y

o macierzy C =■ B⁷ A B.

Własności (Rao 1982):

a) Jeśli B jest macierzą nieosobliwą, to przekształcenie liniowe nie zmienia określoności formy kwadratowej:

Y^rC Y - X⁷ (B~')^v B⁷ A B B^_IX = X⁷ A X i odwrotnie

sgn(X^/ A X) =

X^r A X = Y^r B^r A BY = Y⁷ C Y

= sgsi(Y CY)

dla niezerowych wektorów X i Y.

b) Niech Y = RX ^ X = R''y (B = R^¹), gdzie R jest taką macierzą trójkątną, że A ~R^l R (zgodnie z rozkładem 1.6). Wówczas

X⁷ A X = Y⁷ B⁷ A BY" Y^r(R“¹ f A R~^lY =

= Y⁷‘(R"^,)^rR^rRR ¹Y- Y⁷1 Y = Y⁷ Y

c) Forma kwadratowa X¹ AX, Ae91^,,’^/I jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy w- > 0 dla każdego i l, 2,    //, gdzie

"11	a 12
U 21	Ci 22
"il	^ai2

(wyznaczniki o powyższej postaci są nazywane minorami wiodącymi macierzy A).

Natomiast jeśli w_x < 0, w₂> 0, \v₃ < 0, w₄ > 0 to forma kwadratowa jest określona ujemnie. Dowody tych własności, przeprowadzane z zastosowaniem omawianych tutaj przekształceń form kwadratowych, można odszukać m.in. w pracy Rao (1982, str. 54-55).

Elementy analizy macierzowej

Niech /(X) = /(*;, x₂, .r_m)będzie funkcją skalarną, natomiast

F(X)

’/|(X)"

/₂(X)

/„(X)

funkcją wektorową zmiennej wektorowej X -    r₂,.... x_m\¹.

33