53217

2002 GRUPA A

Zadanie 1

Znaleźć macierz X taką. ze AX - X - B. gdy:

"2	1	0 “		"1	0	2
1	—1	0	B =	0	0	0
2	1	—1_		2	0	1

Zadanie 2

Pokazać, ze jeśli k jest wartością własną nieosobliwej macierzy A. to — jest wartością własną macierzy A'¹.

Zadanie 3

Który ze zbiorów V - {(x. y. x) c R^s : z - x) jest podprzestrzenią przestrzenie R^J? Dlaczego?

Zadanie 4

Dane jest przekształcenie liniowe T : R* -> R\ gdzie T(xj, Xj. x₂) ■ ( Xi - x₂ - x,. -Xj + x₂ - Xj, -Xj - x₂ + Xj). Znajdź bazą przestrzeni R¹ składającej się z wektorów własnych przekształcenia T i znajdź macierz tego przekształcenia wzglądem bazy składającej się z jego wektorów własnych.

Zadanie 5

Rozwiązać równanie y" - / - 6y ■ xe*"

Zadanie 6

Wyznaczyć oryginał f(t), gdy L(f(t)] ■

S-l

s²(s²+l)

Zadanie 7

dx

Przy pomocy transformaty Laplace'a rozwiązać licład równań 2-

dt

y(0) - 2.

—+ 3— = y: gdy x(0) = 1 i dt dt

GRUPA B

ZidaniŁi-

Znaleźć macierz A taką. ze AB = A + B. gdy:

"3	0	0
0	5	0
_1	0	2

Zadanie 2

Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia 3 i detA ■ 2. Wyznaczyć det(A*’), det(2A) i det(A^ł).

ZadameJ

Dana jest finkcja {•!•) : R* x R^ł -> R\ gdzie (x|y) - Xiy, + 3x₂yj - x,yj dla x - (xj. x₃, x,) oraz y - <yi, y₂, y,) należących do R^l. Czy funkcja ta jest iloczynem skalarnym w przestrzeni R’? Dlaczego?

Zadanie 4

Pokazać, ze przekształcenie liniowe T : R^J -> R³. gdzie T(Xj, x₂. x,) ■ (x> - 2x₂ + x_Jf x* - x_}. 2x₂ - 3x») jest róznowartościowe. Znaleźć przekształcenie odwrotne T ³ : R¹ -> R\ Obliczyć T^ł(l,l.l).

Zadanie.^

Rozwiązać równanie y" + 25y = 4sin5x

Zadanie 6

Wyznaczyć oryginał f(t), gdy Uf(t)J «

2s² 4-155-4-7 (s+l)²(s —2)

Zadanie 7

. dx dy n — = V: — + x =

Przy pomocy transformaty Laplace'a rozwiązać układ równań —^ = y; —— + X = 2y : gdy x(0) - 1 i y(0) - 1.

dt dt