3582323735

2002 GRUPAA

Zadanie 1

Znaleźć macierz X taką, że AX - X = B, gdy:

	~2	1	0 “		"1	0	2~
A =	1	—1	0	B =	0	0	0
	2	1	—1		2	0	1

Zadania 2

Pokazać, że Jeśli X jest wartością własną nieosobliwej macierzy A, to — jest wartością własną macierzy A'¹.

Zadanie 3

Który ze zbiorów V = {(x, y, x) e R⁵: z = x} jest podprzestrzenią przestrzenie R⁵? Dlaczego?

Zadanie 4

Dane jest przekształcenie liniowe T : R^s -> R⁵, gdzie T(xi, x₅) = ( x, - x₂ - x₃, -x, + x₂ - Xs, -x, - x₂ + x₃). Znajdź bazę przestrzeni R^s składającej się z wektorów własnych przekształcenia T i znajdź macierz tego przekształcenia względem bazy składającej się z jego wektorów własnych.

Zadanie 5

Rozwiązać równanie y" - y - 6y = xe⁵*

Zadanie fi

Wyznaczyć oryginał f(t), gdy LJf(t)] =

S —1

S²(s² 4-1)

7adanie 7

,    ,    , dx    dy

Przy pomocy transformaty Laplace'a rozwiązać układ rownan 2- = ——

dt    dt

y(o> = 2.

^ + 3-^=y; gdy x(0) = 1 i

dt dt

GRUPA B

Znaleźć macierz A taką, że AB — A + 8, gdy:

3	0	0
0	5	0
1	0	2

Zadanie 2

Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia 3 i detA = 2. Wyznaczyć det(A’), det(2A) i det(A^T).

Zadanie 3

Dana jest funkcja (»|») :R⁵xR^! -> R^s, gdzie (x|y) = x,y, + 3x₂y₂ - x₅y₃ dla x = (x„ x₂, x_s) oraz y = (y„ y„ y_s) należących do R⁵. Czy funkcja ta jest iloczynem skalarnym w przestrzeni R^J7 Dlaczego?

Zadanie 4

Pokazać, że przekształcenie liniowe T : R^ł -> R⁵, gdzie T(xi, x₂, x₃) = (x, - 2x₂ + x₅, x₂ - x₅, 2x₂ - 3xj) jest różnowartościowe. Znaleźć przekształcenie odwrotne T"¹ : R⁵-> R⁵. Obliczyć T^ł(l,l,l).

Zadanie .S

Rozwiązać równanie y" + 25y = 4sin5x

7adanie fi

Wyznaczyć oryginał f(t), gdy l_|f(t)] =

2s² -H5S + 7 (s-KL)²(s-2)

7adanie 7

dx    dv

Przy pomocy transformaty Laplace'a rozwiązać układ równań -= y;    + X = 2y; gdy x(0) = 1 i y(0) = 1.

dt    dt