DSCN1085 (2)

4.26. Znaleźć wszystkie pary (x, y) liczb całkowitych spełniające układ równań

fx + y = 6 |2* + y = 25.

4.27. Zbadać dla jakich wartości parametru ne.N\{0,l} istnieje n-wyrazowy ciąg (x„) liczb rzeczywistych, którego wyrazy spełniają układ równań

a)

Xj + 1 x§ + 1 x\ + 1 x² + 1

11    1    51

x_t + x₂ + x₃ + ... + x„ H--H---1-... H--— ~r,

x, x₂    x„    4

x,

X,

x_m

b)

x| + 1 xj + 1 x₃ + 1 x; + 1

11 1 10 ^xi +x₂ + x₃ + ... + x_n + —+ - + ...+ - = _T,

4.28.    Zbadać dla jakich wartości parametru m równanie

(m + 2)x² + 6mx + Am — 1 = 0

ma rozwiązania i każde z tych rozwiązań należy do przedziału a) (3;2); b) (—oo;l) c) (—l;oo).

4.29.    Dla jakich wartości parametru m równanie

x³ — 2(1 + m)x² + (1 + m — 3m²) x + 3m² + m = 0 ma:

a)    trzy różne rozwiązania, które są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego,

b)    dokładnie dwa różne rozwiązania.

4.30.    Zbadać dla jakich naturalnych wartości parametru n równanie x"* ³ — 25x³ = 4x" ⁺¹ — 100x ma rozwiązanie. Wyznaczyć liczbę rozwiązań danego równania jako funkcję / zmiennej n.

4.31.    Zbadać liczbę rozwiązań równania

X

x a * = 1 w zależności od parametru a.

4.32. Dla jakich wartości parametru a równanie

log₀x + \ą + log_flx| • log^a = alóg^a ma rozwiązania?

Znaleźć te rozwiązania.

4.33.    Wyznaczyć zbiór A tych wszystkich par (p, q), dla których równanie x⁴ 4- px² + q = 0 ma cztery różne rozwiązania, będące kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Zbiór A zilustrować na płaszczyźnie z prostokątnym układem współrzędnych o osiach P. 9-

4.34.    Wyznaczyć liczbę rozwiązań rzeczywistych równania

(m + 2) (3 - 2^/iy + (2m - 1) (3 + 2^2)* = 3m + 2 jako funkcję zmiennej m.

4.35.    Mając dane sin x + cos x = a obliczyć wartość wyrażenia sin³x + cos³x. Dla jakich wartości parametru a zadanie ma rozwiązanie?

4.36.    Dla jakich wartości parametru a istnieją rozwiązania równania sin⁴x + cos⁴x + sin 2x + a = 0?

4.37.    Dla jakich wartości parametru p równanie sin x + p cos x = 2p ma rozwiązanie?

4.38.    Wyznaczyć zbiory:

a)    A =    A (nx² + 4x > 1 - 3a)},

X eR ₊

b) B = {aeR: A (ax² + 4x > 1 — 3a)}.

X l«_

4.39.    Dla jakich wartości parametru a zbiorem rozwiązań nierówności (a — 3)x³ — 2ax² + 3ox — 6x > 0 jest zbiór:

a) R+; b) -R_; c) 12\{0}?

4.40.    Dla jakich wartości parametru k sumą zbiorów rozwiązań nierówności

x² — 6M + Sk² + Sk — 4 > 0 i x² — 4kx + 4k² — k ^ 0 jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?

27