DSCN1112

W takim razie w przypadku 2° i 3° warunki zadania są spełnione, bo <0; 1> <=<--; oo).

Rozważmy więc 1°, w przypadku gdy oe(0; co). _

r., •    . • i- •    j /1 — y/a + 1 1 + y/o + 1 \

Zbiorem wartości/jest wtedy \-^^-/.

Wobec tego aby przedział <0; 1) był podzbiorem zbioru wartości / musi być prawdziwa koniunkcja

¹:^£±'Uo

1,

+ y/^a + ¹ > 2 ^p

stąd y/a + 1 ^ 1, czyli a ^ 0.

Zatem o6(0; oo) spełnia warunki zadania.

Gdy zaś oe< — 1; 0) otrzymujemy alternatywę

lub    +

Łatwo sprawdzić, że żadnej z tych nierówności nie spełnia żadna liczba rzeczywista.

Odp.: o 6 (—oo, — 1) u <0, oo).

2.34. Jeśli x² + ax + 1 =£0, to f(x)-(x² + ax + 1) = x + a.

Oznaczając wartość funkcji f dla argumentu x przez y mamy

y(x² + ax + 1) = x + o,

stąd yx₂ + (ay — l)x + (y — a) = 0.

Ale powyższe równanie ma rozwiązanie wtedy, gdy (ay - l)² - 4y(y — o) ^ 0, czyli gdy

(o² - 4)y² + 2ay + 1^0.

Wobec tego, jeśli:

1) o² -4> 0, to ye(-oo;——;

\    0 — 2/ \o + 2

2)    o² — 4<0, to ye(—i-;

\o-2’ o + 2/’

3)    a = -2, to y < i;

4)    a * 2, to y ^

2.35* Wskazówka. Oznaczając f(x) = y, mamy 1) y(x — <?) (x — r) = x — p, gdyx=£q i x^r.

Po przekształceniach równanie (1) ma postać (2) yx² — (ry + qy + 1) x + qry + p = 0 oraz dla (2)

A — (r² + q² — 2 rq) y² + (2r + 2q — 4p)y + 1, a dalej

A_l = 4(r + q - 2p)² - 4(r - g)² musi być nieujemna dla każdego y, wobec tego

f 0* — q)² ^ 0 1 ^ < 0,

skąd otrzymujemy (r — p) {q — p)< 0, a po uwzględnieniu warunków zadania mamy (p — r) (p 4) < 0.

2.36. Liczba naturalna parzysta ma postać 2k, gdzie k = 1, 2,... Wobec tego a musi być taką liczbą, by równanie

(1)

-2

= 2/c, gdzie a* ¹ =£2;

miało rozwiązanie dla każdego keN+.

Równanie (1) po przekształceniu ma postać;

2 a³ + 2 a² — 4ak    p-

^a =-2 _ 2^-' gdzie a =£v²*-

A

Jk«N

> 0 <}> A 2n(fl² + a — 2k)(a² — 2/c)>0

Jk«N .

Ponieważ funkcja x a^x jest różno wartościowa dla a ± 1 i zbiorem jej wartości jest R_+i więc równanie (1) będzie miało rozwiązanie wtedy, gdy 2a.³ 4* 2a² — 4ak

2k

czyli dla każdego keN₊

(2)

lub (3)

a² -f n — 2/c < 0 a² — 2/c < 0

f a² + a — 2/c > 0 { a² — 2/c > 0.

81

6 — Zbiór zadań