DSCN1118 (2)

d c    .    ..

W takim razie §-> 1, skąd wynika, że

b-a

d — c>b — a, czyli

d + a>b + c.

W przypadku, gdy a> b > c > d rozumowanie jest podobne. Rozwiązanie drugie.

Niech q będzie ilorazem tego ciągu {q > 0).

Wtedy b = aq,c = aq², d — aq³.

Stąd mamy

a + d = a(l + q³) = fl(l’+ q) (1 — q + q²).

Ponieważ (1 — q)² > 0, więc

l-q + q²>q.

Zatem a + d> a( 1 + q)q = aq + aq² = b + c.

2) Niech r będzie różnicą ciągu (a_n), a q - ilorazem ciągu (b_n). Podobnie jak w 3.15 można dowieść, że r > 0. Widzimy następnie, że

a, +r    r . r

= —r— = 1 + — , gdzie — > 0. b_x    b_x b_x

Stąd z nierówności Bernoulliego [(1 + x)ⁿ > 1 + nx dla 1] wynika, że

b, = b_xq'-¹ =b_x-(l+-£-J >b_x -jl + (/i — 1)^-

= b_x + (n - l)r = a_x + (n - l)r = a_n, dla każdej liczby naturalnej n > 2.

3.17.    Wskazówka. Niech a_k — — dla k— 1,...» n.

Qk    ,

Zauważyć, że różnicą szukanego ciągu arytmetycznego może byc

gdzie b = NWD (q_x, q₂.....q_H).

3.18.    a) Załóżmy, że a < b <c i, że (a„) jest ciągiem, dla którego

a_k = a. a_x — b, a„ ~ c. Gdyby (aj był ciągiem arytmetycznym, to k < l < m lub k> l> rti.

Ponadto

Ca_x 4- (Ac — l)r = a <a_t -t- (/ — 1) r = f> ia_x + (m — l)r = c, skąd f (m — l)r = c — b \(l — k)r = b - a.

Gdyby a4 W, to (6 — a)£ W, więc W (bo (1 — k)£ W), zaś to jest sprzeczne z pierwszym równaniem.

Podobnie przebiega rozumowanie, gdy b$ W lub c$ W. Odpowiedź: Nie istnieje ciąg arytmetyczny spełniający warunki zadania.

3.19. a) Wskazówka. Przypuśćmy, że taki ciąg istnieje i jest nim ciąg (aj. Nie zmieniając ogólności możemy założyć, że a_x = y/7, a_k = y/\\ i a_m = yf\3.

Wówczas

ryn=^7+(fc - Dr

lyi3 = Jl + (m - 1) r.

po wyeliminowaniu z układu zmiennej r otrzymujemy

2m² - 10fc² - lim + Imk + 13fc - 1

e W.

(m — k) (fc — 1)

Otrzymaliśmy sprzeczność z tym, że >/91 £ W. b) Przypuśćmy, że taki ciąg istnieje i ma iloraz q. Wtedy

= 77-<j\

gdzie q > 1, n > k.

Eliminując z obu równań q otrzymujemy

czyli

11"= 13**7"“*.

Ponieważ n — k ^ 1, więc 7111 co jest niemożliwe.

Zatem nie istnieje ciąg geometryczny, którego wyrazami są

yż.yii, yn

c