DSCN1130 (2)

4.46.    Wskazówka. Jeśli dokonamy podstawienia x — sina, y — cosa, to dany układ równań będzie równoważny równaniu 1) (a - A)tg²ot + 2Atga + (6 — A) = 0.

Równanie 1) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy aA + bX ^ ab. Jest to także warunek rozwiązalności danego układu.

4.47.    Wskazówka. Warunkiem koniecznym rozwiązalności układu jest: a ^ 0 i b ^ 0. Ponadto, jeśli rozwiązaniem danego układu jest para (x₀,y₀), to jest nim również para (x₀- — y₀). Ponieważ rozwiązanie ma być dokładnie jedno, więc musi mieć ono postać (x₀,0).

Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla a = 0 i 0 < b < 1.

4.48.    Wskazówka .Do nierówności występującej w danym układzie podstawiamy w miejsce y wyrażenie ax² i otrzymujemy nierówność

1)    + (1 - 4a)x² + 3 < 0.

Następnie za pomocą podstawienia x² — t z nierówności 1) otrzymujemy nierówność

2)    a²t² + (1 — 4a)t + 3 < 0.

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by zbiór rozwiązań danego układu nie był pusty jest A > 0 i (t_x > 0 lub 1₂ > 0), gdzie Ą t,, t₂ oznaczają odpowiednio wyróżnik i miejsca zerowe lewej strony nierówności 2). Stąd otrzymujemy odpo-

4.49.    \a + c| = \b\ <=> a + c = b lub a + c = —b, a więc a — 6 + c = 01uba + 6 + c = 0.

Niech/(xA = ax² -f bx + c. Wtedy ostatnia alternatywa oznacza, że/(—1) = 0 lub/(+ 1) = 0. Oznacza to, że jednym z pierwiastków równania jest liczba - 1 lub liczba 1.

Niech a oznacza drugie rozwiązanie tego równania. Wtedy ax² — a(a + l)x + aa = 0 lub ax² — a(a — l)x — aa = 0. Ponieważ ae W\ {0} i a (a + 1) e W, więc ae W.

4.50.    Wskazówka.Z warunków zadania wynika, że jeśli równanie W(x) = 0 ma rozwiązania wymierne, to są one liczbami cal-kowitymi. Założyć, że istnieje liczba peC taka, że W(x)-0 i wykazać, że to założenie prowadzi do sprzeczności z warunkami zadania.

4.51. Założenie, że/, g są wielomianami jest istotne. Bez tego założenia twierdzenie nie jest prawdziwe o czym świadczą funkcje / g określone następująco:

y¹ 4- x — 2

/(*) = *-!; <Kx) = ₁±-_r.

4.S2. Wskazówka. Jeśli dane równanie ma 2 rozwiązania to ma również trzecie rozwiązanie. Oznaczymy te rozwiązania przez ot,

-, fi. Wówczas, wykorzystując wzory Viete’a, otrzymamy układ:

oc + i + 0= --a    a

1 + ap + 0- = -ot a

p = —, z którego wynika teza. a

4.53. Wskazówka. Najpierw zauważyć, że

X¹² - x⁹ + x⁴ — x + 1 = x(x - l)(x⁸ + l)(x¹ + x + 1) + 1. Stąd natychmiast wynika, że dana nierówność jest spełniona dla każdego x 6 (— oo; 0> u < 1; oo). Pozostaje wykazać, że spełnia tę nierówność liczba z przedziału (0; 1).

4.55.    Wskazówka. Jeśli p, ą są liczbami naturalnymi dodatnimi, to wyróżnik równania jest dodatni. Zatem równanie ma dwa rozwiązania

p - Jp¹ + 4ą    p + Jp¹ + 4q

^, x₂ = -—^-, przy czym

Xj < 0 < 4.

Zadanie sprowadza się do wyznaczenia liczby par p, ą spełniających nierówność x₂ < 4. Takich par jest 39.

4.56.    Zadanie to jest uogólnieniem zadania 4.55. Takich równań jest (n - 1) (n¹ f 2n + 2)

117

1