DSCN1126 (2)

4.23.    Wskazówka. Z drugiego równania wyznaczamy x i otrzymane wyrażenie podstawiamy w miejsce x do pierwszego równania otrzymując w ten sposób równanie:

1) (1 - z)y² + 2z^ly - 4z² = 0, z =£0.

Równanie 1) traktujemy jako równanie kwadratowe względem y lub jako równanie liniowe (dla z = 1) i rozwiązujemy je. Układ spełnia nieskończenie wiele trójek:

(2, -1, — 1), (-|, j, |), (t, <y>X gdzie telŁ

4.24.    Wskazówka. Najpierw należy dodać pięć równań układu . stronami.

x, = 6, x₂ = —7, x₃ = —2; x₄ = 1; x₅ = 2; x₆ = 1.

4.25.    Wskazówka. Z trzeciego równania wyznaczamy x i otrzymane wyrażenie podstawiamy w miejsce x do drugiego równania. Otrzymamy wówczas równanie y² + (z — 2) y — 2z² — 4z = 0. Równanie to traktujemy jako równanie względem y i rozwiązujemy je.

Układ ma 3 rozwiązania: f— - J; (0,0,0); fo, — -J.

4.26. Podstawiając, do drugiego równania, w miejsce x wyrażenie 6 — y otrzymamy równanie (A'2'^y + 3* = 25.

Rozważmy funkcjęf:C-*R określoną wzorem

f(y) — 64-2“^y -f 3^y i wyznaczmy różnicę/(y -fi)— /(y),dlaye C

Mamy:

f(y + l)-/(y) = 64-2"^y’¹ + 3^{,,+ 1} — 64*2"^y — 3^y =

= 64-2''fi- 1^ — 3^y (1 — 3) = = —32*2~^y + 2*3^y =

32-2"'

= 2-3'

Widać, że f(y + 1) — f(y) > 0 dla yeC i y ^ 2, zas f(y + 1) — f{y) < 0 dla ye C i y < 2. Znaczy to, że funkcja/jest rosnąca w zbiorze liczb całkowitych nie mniejszych od 2 i maleją^-ca w zbiorze liczb całkowitych mniejszych od 2.

Ponieważ /(2) = 25, więc y = 2 jest jedyną liczbą, dla której wartość funkcji / wynosi 25.

W takim razie układ spełnia para (4, 2).

4.27. a) Z równania

xf + 1 xj + 1

otrzymujemy:

x, = x, lub x, X-, = 1.

Drugie równanie układu przekształcamy tak:

(_Xl+lj₊(_JCj+ij₊.„₊(_x>+i)₌

Następnie wykorzystując pierwsze równanie, mamy (x\ + 1\    51

r 4-1

Stąd

1) x\ - j-i* + 1= 0 i x, ^0

_A (51 + 8ri) (51 - 8n)

16n²

A ^ 0 dla n < ~ czyli dla ne{2, 3,4, 5,6}.

o

Wtedy jĄ

8 n

_M 51 - ^(51 + 8n) (51 - 8n)

^Xl ”    8/i

Ciąg (x„) istnieje dla każdego ne {2,3,4,5,6), przy czym dla każdego n z podanego zbioru istnieje 2” ciągów spełniających warunki zadania. Na przykład dla n - 2 mamy cztery ciągi: /51 + 1^/55 51 + 7^55^ /51 - 7^55 51 - 7^55^. \ 16 16 16 ’ 16 /’ /51 + 7^/55 51 -7755^751-7^/55 51 + 7^/55\

\ 16 ’ 16 16 ’ 16 )' b) Nie istnieje n spełniające warunki zadania.

4.28. Wskazówka. Należy skorzystać z zadania 2.20.

^{a) me}$(f ^u ^ t) ^{u {-2}}’

109