0644

646

XIV. Całki zależne od parametru

lub — jeśli dokonać podstawienia z — y" — równość

.T(fl) = lim n° f y~^l(l — yy~¹dy. »-*> o

Jednak, zgodnie z (3),

t -2 3- ... (n —1)

a(a + l)(a+2) ... (a + n-1)

W ten sposób dochodzimy ostatecznie do słynnego wzoru Eulera-Gaussa

(7)

r(a) — lim n^a ■

n-+ oo

1 -2-3- ... (n—1)

a (fl + 1) (a+2) ... (a + n-1) ’

który poprzednio był dla nas punktem wyjścia [402 (14)].

W dalszym ciągu, jak już zapowiedzieliśmy, własności funkcji r będziemy wyprowadzali z jej przedstawienia całkowego (6).

531. Najprostsze własności funkcji F. 1° Funkcja F (a) jest ciągła dla każdej wartości a > 0 i ma ciągłe pochodne wszystkich rzędów.

Wystarczy wykazać istnienie pochodnych wszystkich rzędów. Różniczkując całkę (6) (różniczkujemy pod znakiem całki) otrzymamy

CC

(8)    F'(a) = / z^-"¹ lnxe~*dx .

O

Zastosowanie reguły Leibniza jest tu dozwolone, bo obie całki

1    oo

J x“^-1 ln x e~^xdx i / x“~¹ ln x e~^xdx

o    i

są zbieżne jednostajnie względem a, pierwsza przy x — O dla a > a₀ > O (majorantą jest x^l,0_1 |ln x|), a druga przy x=oodlaa</l<oo (majorantą jest x^A e~^x (*)).

W ten sam sposób można przekonać się o istnieniu drugiej pochodnej

00

(8*)    r"(a) = f x°-‘(ln x)²e~^xdx

o

i wszystkich pochodnych wyższych rzędów.

2° Całkując wzór (6) przez części otrzymujemy

00    CO

a J x“~¹ e~^xdx = x“ e^_*|₀ + J x^a e~^x dx ,

o    o

a więc [por. 402, (15)]

(9)    r(a + l) = a-r(a)

(^l) Dla *>0 jest, oczywiście, ln x<x.