HWScan00128

Można zatem nie uwzględniać różnicy dróg ruchu naczynia i ruchu wypadkowego, a co najważniejsze — obu złożonych ruchów obrotowych koła. Dla uproszczenia piszemy więc ds ^ R dq>.

Elementarna powierzchnia odspojenia skiby dF (h,b), przy przesunięciu naczynia o nieskończenie małą drogę ds (rys. 4.23a), wynosi

dF (h,b) = dF_h + dF,, ^ \ R dtp + b_v R dtp

Ponieważ chwilowa grubość skiby h i szerokość b określone są równaniami (4.69) i (4.71), więc powierzchnia odspojenia całej skiby, którą naczynie odcina przy obrocie o kąt <p, określona jest całką w obszarze kąta <p_u

F (h,b) — R / {h sin tp + b [(1 — k_b) + k_b sin ę;]} dcp

q> = 0

Całkowanie w zakresie zmiany kąta od 0 do tp_u i dalsze przekształcenia prowadzą do wyrażenia powierzchni odspojenia skiby za pomocą grubości h i szerokości b skiby, mierzonych na osi koła jako funkcja kąta obrotu koła naczyniowego, z zależności

F (h,b) = R h (1 — cos cp_u) + R b [(1 — k_b) tp_u + k_b (1 — cos g?_u)] m²

(4.74)

Objętość I_c skiby przestrzennej, która odspojona zostaje naczyniem przy obrocie o kąt q>_u, można wyrazić jako iloczyn bocznej powierzchni F_h skiby i średniej całkowalnej jej szerokości b_s (I_c = F_h b_s). Ponieważ z równania (4.74) widać, że F_h = R h (1 — cos <p_u), więc korzystając z równania (4.72), objętość skiby określimy jako

I_c = R h b (1 — cos <p_u) £(1 — k_b) +    (1 — cos <p_u) J m³ (4.75)

4.6.7. Optymalne wartości grubości i szerokości skiby

Optymalna grubość i szerokość skiby, które zapewniłyby całkowite na-

k

pełnienie naczynia w czasie urabiania, przy współczynniku *— = %u

k_n ko

należy określić z zależności I_c = I. Wykorzystując równanie (4.75) otrzymamy

I — R h b x\ (1 — cos (p_u) J(1 — k_b) +    (1 — cos q?_u) J

skąd grubość skiby h można określić jako

h =

R b x_x (1 - cos (f)_u) ^(1 - k_h) + *^b- (1 — cos rp_u) J

f4.76)

Po podstawieniu grubości h z równania (4.76) do równania (4.74) uzyskujemy możliwość wyrażenia powierzchni odspojenia przez

b xi £(1 — k_b) +    (1 — cos (p_u) J

Rb[( 1 k_b) <p_u + k_b (1 — cos <r_u)]

F (h,b) —    ¹

Dla spełnienia drugiego warunku najekonomiczniejszej grubości i szerokości powierzchni odspojenia skiby, należy określić ekstremum wartości funkcji, ustalając warunek, dla którego powierzchnia osiąga minimum. Odpowiadające minimalnej powierzchni odcięcia parametry ustalimy 2 równania

= 0

dF (h,b) db

Cząstkowa pochodna wyrażenia F {h, b) względem b daje

dF(h,b) _    I

db

b²

* i

[U - K) +    (1 - cosyj]

+

(4.77)

+ R [(1 - k_b) <p_u + k_b (1 - cos qp_u)]

Wielkość b określa się z równania (4.77) przy założeniu, że wartość tej pochodnej równa się 0, zatem

¹ Y~

b =

(1 - k_b) + — (1 - cos <p_u)

l

R*i <Pu

Po podstawieniu otrzymanej wartości b do drugiej pochodnej d² F (h,b) ₌ __21_

^{Ób2 _} b³ [(1-M + -^-(1- COS »>„)]

otrzymamy

liWL = 2R    [₍₁ -    + ±(1 - cos *> ]*> 0

Wyrażenie to jest większe od zera, co wskazuje, że otrzymana wartość szerokości b odpowiada minimum funkcji F (h,b), a zatem szukana wielkość szerokości skiby jest b_opf. Oznaczając mnożnik jako

K₂

k_b

1

(1 - k_h) + —-- (1 - cosrp_u) I \/ą>_u (Pu    I

(4.78)

wzór na optymalną wielkość szerokości b_opt przybierze postać

K. = k*

*1

(4.79)

Wstawiając równanie (4.79) do równania (4.76) otrzymamy optymalną wielkość grubości urabianej skiby w postaci

I

h_opt

R K,

Yik

k_b

(1 - cos77₀) (1 - k_h) 4- -    (1 - cos <p_u)

]

skąd po przekształceniach otrzymamy

167