I�la

Definicja szeregu:

Niech ( ^ ⁿ ) T)(żl ‘będzie ciągiem liczb rzeczywistych bądź zespolonych.

(a-n)neN,

sumą częściową ciągu

nazywa sie sumę

S_n ^2 ^ai — d\ + Oą + dz “ł~ • • • + ^an

i=l

częściowych ( '^11 ) 71 r -nazv

Ciąg sum częściowych

nazywamy szeregiem o wyrazach a_s i

oznaczam,’:

OO

cli — Cl \ + &2 + ^a3 + • • •

2 = 1

(^n)n i

Jeśli ciąg sum częściowych \ H / 77    * jest bieżny, to jego granicę nazywamy

sumą szeregu a sam szereg nazywamy szeregiemzbieżnym

Jeżeli ciąg sum cześciowychjest rozbieżny, to szereg nazywamy szeregiemrozbieżn\m

71

Granicę ciągu sum częściowych

lim s_n = lim Y' a,

71—00    71 — 00 '

i = 1    (o ile

OO

E^a"

istnieje) oznaczamy symbolem Tl — 1 czyli tak samo jak szereg (na ogół nie prowadzi to do niej asności).

Wa runek    9. dl a szeregów

Szereg /    ^ ⁿo wyrazach rzeczywistych bądź zespolonych jest zbieżny wtedy i

tylko wtedy, gdy

V,>₀3^6nV^>^ |OLq + Q,q +1 + . . . + (L_p \ <6

p>*i

Dowód: Ponieważ a_q + a_q+1 + ... + a._p — s_p — s_q-1

zatem warunek podany w-twierdzeniuj est wa runki e m £ąyęWSZ9.    ci³.?^{11 sum}

częściowych. Ciąg sum częściowych (a więc szereg)jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek

Kryteria zbieżności

Kryterium Cćtofegm

Kryterium nie przesądza o zbieżności lub rozbieżności szeregu w przypadku gdy granica ta (lub odpowiednia granica góma)j est równa 1.

lim (%tl) < 1

ri-oo a

Tl

szereg 5fc*jest zbieżny

lim (—) > 1

ⁿ-°° a-n

1 *    / ^    \ 1

lim (-) = 1 =>

n—> oo

71    krytenum me rozstrzyga

Kryterium Raabego

Jeżeli kryterium .d^gmb.at.ą ^n:‘^e rozstrzyga czy dany szeregj est zbieżny lub rozbieżny, warto skorzystaćzkryteriumRaabego:

lim n(—---1) > 1 =►

ⁿ-°° On+l

szereg .^j^jest rozbieżny

a

szereg 5^ jest zbi eżny

71

-1)<1

lim n(

ⁿ-°° «n + l lim n(—---1) = 1 =*►

n—*oo n„ ,i    ,

^v*’7l ■+■ 1    krytenum me rozstrzyga

szereg Jj,-jest rozbieżny