Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Teoria portfela
Ryzyko i stopa dochodu
1.Korelacja stóp zwrotu
2.Portfel akcji dwu i wielu spó ek
3.Portfel akcji i instrumentów wolnych od
ryzyka
© Romuald Hoffmann - 2 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Teoria portfela papierów warto ciowych
" jednen z najwa niejszych dzia ów wspó czesnych finansów.
" dotyczy inwestycji finansowych, a przede wszystkim
inwestycji dokonywanych na rynkach kapita owych (zakupu
papierów warto ciowych)
© Romuald Hoffmann - 3 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Podstawowe charakterystyki papieru warto ciowego
Oczekiwana stopa zwrotu
- rednia wa ona mo liwych do osi gni cia stóp przy czym
wagami s prawdopodobie stwa ich osi gni cia.
n
E r =R= pi ri
i=1
R  oczekiwana stopa zwrotu;
n  liczba mo liwych
gdzie:
ri
do osi gni cia warto ci stopy zwrotu;  i-ta mo liwa do
pi
osi gni cia warto stopy zwrotu;  prawdopodobie stwo
osi gni cia i-tej mo liwej warto ci stopy zwrotu.
© Romuald Hoffmann - 4 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Zazwyczaj nie jest mo liwe okre lenie rozk adu stóp zwrotu w
przysz o ci (tzn. mo liwych do osi gni cia stóp zwrotu i
prawdopodobie stw ich osi gni cia) to zamiast tego
wykorzystuje si stopy zwrotu zrealizowane w przesz o ci,
stosuj c nast puj cy wzór:
n
ri
i=1
r=
n
W powy szym wzorze oczekiwana stopa zwrotu oszacowana
jest jako rednia arytmetyczna stóp zwrotu osi gni tych w
n
poprzednich okresach.
© Romuald Hoffmann - 5 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Wariancja stopy zwrotu
 jest miar ryzyka papieru warto ciowego.
Wariancja okre la zró nicowanie mo liwych dochodów z
tytu u posiadania papieru warto ciowego. Im wi ksze jest to
zró nicowanie, tym wi ksze jest ryzyko zwi zane z papierem
warto ciowym.
Wariancja papieru warto ciowego mierzona jest w procentach
podniesionych do kwadratu wed ug wzoru:
n
Var r =V = pi ri R 2
i=1
gdzie ozn. wariancj stopy zwrotu.
V
© Romuald Hoffmann - 6 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Je li mamy do dyspozycji tylko zrealizowane stopy zwrotu to
wzór przyjmuje posta :
n
ri R 2
i=1
Var r =V =
n 1
© Romuald Hoffmann - 7 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Odchylenie standardowe stopy zwrotu
- jest tak e miar ryzyka papieru warto ciowego.
- mierzone jest w procentach.
- wskazuje na przeci tne odchylenie mo liwych stóp zwrotu od
oczekiwanej stopy zwrotu. Przyjmuje warto ci nieujemne.
Podobnie jak przy wariancji im wi ksze jest odchylenie
standardowe, tym wi ksze jest ryzyko zwi zane z papierem
warto ciowym.
s= V
gdzie ozn. odchylenie standardowe.
s
© Romuald Hoffmann - 8 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Kowariancja stóp zwrotu dwóch akcji
 mierzy powi zanie stóp zwrotu dwóch akcji.
Wskazuje ona si powi zania i jego kierunek. Liczona jest
wed ug wzoru:
n
cov12= pi ri ,1 R1 ri ,2 R2
i=1
cov12  kowariancja pomi dzy akcj pierwsz i drug ,
gdzie:
R1  oczekiwana stopa zwrotu akcji pierwszej, R2 -
ri ,1  mo liwe stopy
oczekiwana stopa zwrotu akcji drugiej,
ri ,2  mo liwe stopy zwrotu akcji drugiej.
zwrotu akcji pierwszej,
© Romuald Hoffmann - 9 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Wzór na kowariancj , przy zrealizowanych stopach zwrotu
przyjmuje posta :
n
ri ,1 R1 ri ,2 R2
i=1
cov12=
n 1
gdzie oznaczenia jak poprzednio.
© Romuald Hoffmann - 10 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Wspó czynnik korelacji stóp zwrotu
- jest tak e miar powi zania stóp zwrotu dwóch aktywów.
Obliczana jest na podstawie nast puj cego wzoru:
n
pi ri ,1 R1 ri ,2 R2
i=1
=
12
s1 s2
natomiast przy zrealizowanych stopach zwrotu:
© Romuald Hoffmann - 11 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
n
pi ri ,1 R1 ri ,2 R2
i=1
=
12
n 1 s1 s2
gdzie:
,  wspó czynnik korelacji dla stopy zwrotu akcji
12 12
pierwszej i drugiej,
s1 - odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji pierwszej,
s2 - odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji drugiej.
© Romuald Hoffmann - 12 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Korelacja i kowariancja powi zane s nast puj c zale no ci :
cov12
=
12
s1 s2
Wspó czynnik korelacji dwóch akcji okre la si i kierunek
powi zania stóp zwrotu tych akcji. W a ciwo ci tego
wspó czynnika s nast puj ce:
" Przyjmuje warto ci z przedzia u .
1 ;1
© Romuald Hoffmann - 13 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
" Warto bezwzgl dna wspó czynnika korelacji wskazuje na
si powi zania stóp zwrotu akcji. Im wy sza jest warto
bezwzgl dna tego wspó czynnika, tym powi zanie jest
silniejsze. Wynika z tego, e najsilniej powi zane s akcje,
których wspó czynnik korelacji jest bliski 1 lub  1, a
najs abiej te, których wspó czynnik korelacji jest bliski 0.
" Znak wspó czynnika wskazuje na kierunek powi zania stóp
zwrotu akcji. Gdy jest on dodatni, wyst puje tzw. korelacja
dodatnia akcji. Oznacza to, e wzrostowi (spadkowi) stopy
zwrotu jednej akcji towarzyszy wzrost (spadek) stopy zwrotu
drugiej akcji. Gdy jest on ujemny, wyst puje tzw. ujemna
korelacja akcji i zachodzi sytuacja odwrotna.
© Romuald Hoffmann - 14 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Portfel dwusk adnikowy
Za ó enie
- portfel sk ada si z dwóch ró nych akcji o nast puj cych
charakterystykach:
R1 , R2  oczekiwane stopy zwrotu,
V V
 wariancje,
1, 2
s1 , s2  odchylenia standardowe,
w1 , w2  udzia y warto ciowe obu akcji w portfelu,
w1 w2 = 1.
pomi dzy którymi zachodzi zale no :
© Romuald Hoffmann - 15 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Poszczególne charakterystyki portfela mo emy wyliczy w
nast puj cy sposób:
R =w1 R1 w2 R2,
p
2 2
Vp=w1 s1 w2 s2 2 w1 w2 s1 s2 ,
2 2
s = V
p p
R V
gdzie:  stopa zwrotu z portfela,  wariancja
p p
s
portfela,  odchylenie standardowe portfela.
p
© Romuald Hoffmann - 16 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Z powy szych wzorów wynika, e ryzyko portfela dwóch akcji
zale y od ryzyka pojedynczych akcji wchodz cych w sk ad
portfela oraz od wspó czynnika korelacji tych akcji. Ujemny
wspó czynnik korelacji mo e nawet powodowa zmniejszanie
si ryzyka portfela.
Spójrzmy jak wygl da ryzyko portfela przy czterech ró nych
wariantach wspó czynnika korelacji:
© Romuald Hoffmann - 17 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
=1
12
2 2
,
V =w1 s1 w2 s2 2 w1 w2 s1 s2 = w1 s1 w2 s2
p 2 2
s =w1 s1 w2 s2.
p
W przypadku doskona ej korelacji dodatniej akcji ryzyko
portfela jest wa on redni ryzyka pojedynczych akcji
wchodz cych w sk ad portfela, przy czym wagami s udzia y w
portfelu.
© Romuald Hoffmann - 18 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Rozpatrujemy dwie akcje A i B, o oczekiwanych stopach
RA i RB oraz ryzyku równym sA i sB .
zwrotu
Spójrzmy jak wygl da graficzna prezentacja tego przyk adu na
wykresie.
© Romuald Hoffmann - 19 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
© Romuald Hoffmann - 20 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Stopa zwrotu i odchylenie standardowe portfela
dwusk adnikowego w zale no ci od ró nych wspó czynników
korelacji
Odcinek AB reprezentuje mo liwe stopy zwrotu i odchylenia
standardowe portfela akcji A i B. Widzimy, e wraz ze
wzrostem stopy zwrotu ro nie ryzyko reprezentowane przez
odchylenie standardowe, w miar jak zwi kszamy w portfelu
udzia akcji B i zmniejszamy A.
© Romuald Hoffmann - 21 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
= 1
12
2 2
V =w1 s1 w2 s2 2 w1 w2 s1 s2 = w1 s1  w2 s2 ,
p 2 2
s = w1 s1 w2 s2
.
p
Z powy szych przekszta ce wynika, e mo na znale portfel
o zerowym ryzyku. Po odpowiednich przekszta ceniach
otrzymujemy udzia y akcji w portfelu o zerowym ryzyku:
© Romuald Hoffmann - 22 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
s2 s1
w1 = , w2 =
s1 s2 s1 s2
Powy sza sytuacja jest reprezentowana na rysunku przez
odcinki AC i CB.
© Romuald Hoffmann - 23 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
© Romuald Hoffmann - 24 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Widzimy, e wzd u odcinka AC ro nie stopa zwrotu portfela i
maleje odchylenie standardowe. W punkcie C portfel ma
RC .
zerowe ryzyko i stop zwrotu równ
Nast pnie wzd u odcinka CB ro nie stopa zwrotu i ro nie
odchylenie standardowe, wraz ze wzrostem udzia u akcji B w
portfelu. Z rysunku wida , e inwestor nie powinien wybra
portfela, który znajduje si na odcinku AC. Dla ka dego
takiego portfela istnieje lepszy, znajduj cy si na odcinku CB,
tj. daj cy wy sz stop zwrotu przy tym samym odchyleniu
standardowym.
© Romuald Hoffmann - 25 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
=0
12
W tym przypadku akcje nie s powi zane ze sob , a ryzyko
portfela kszta tuje si nast puj co:
2 2
2 2
,
V =w1 s1 w2 s2 .
s = w1 s1 w2 s2
p 2 2
p 2 2
Minimalna warto ryzyka w tym przypadku wynosi:
s1 s2
i wyst puje dla portfela o udzia ach:
s12 s22
© Romuald Hoffmann - 26 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
s22 s12
w1 = w2 =
,
s12 s22 s12 s22
Sytuacja powy sza jest reprezentowana przez krzyw AFB.
Portfelem o minimalnym ryzyku jest portfel F. Ponownie
widzimy, e inwestor nie powinien wybra portfela, który
znajduje si na krzywej AF. Dla ka dego takiego portfela
istnieje lepszy, znajduj cy si na uku FB tj. daj cy wy sz
stop zwrotu przy tym samym odchyleniu standardowym.
© Romuald Hoffmann - 27 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
=0,5
.
12
Jest to przypadek o wiele cz ciej spotykany w praktyce, ni
poprzednie. Miary ryzyka w tym przypadku s równe:
2 2
V =w1 s1 w2 s2 w1 w2 s1 s
p 2 2
2 2
S = w1 s1 w2 s2 w1 w2 s1 s
p 2 2
W tym przypadku portfelem o minimalnym ryzyku jest portfel E.
© Romuald Hoffmann - 28 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
© Romuald Hoffmann - 29 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Przypadek ogólny okre laj cy sk ad portfela o
minimalnym ryzyku.
Jakie musz by udzia y portfela o minimalnej wariancji?
W tym celu do wzoru na wariancj portfela wstawiamy
w2 =1 w1 ,nast pnie obliczamy pochodn powy szego
w1 , przyrównujemy j do zera i rozwi zujemy
wyra enia po
otrzymuj c nast puj ce udzia y:
Prosz wyprowadzi !!!!!!
© Romuald Hoffmann - 30 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Portfel wielosk adnikowy
Podobne charakterystyki jak dla portfela dwusk adnikowego
mo emy tak e wyznaczy dla portfela wielosk adnikowego:
n
R = wi Ri
p
i 1
n n 1 n
,
V = wi2 si2 2 wi w si s
p j j ij
i=1 i=1 j=i 1
S = V
, gdzie oznaczenia analogicznie jak poprzednio.
p p
© Romuald Hoffmann - 31 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
W przypadku portfela wielosk adnikowego mo emy tak e
dywersyfikowa ryzyko poprzez dobór odpowiednich akcji do
portfela. Spójrzmy jak wygl daj wszystkie mo liwe stopy
zwrotu i odchylenia standardowe z portfela z o onego z
czterech akcji (A, B, C, D).
© Romuald Hoffmann - 32 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Zbiór mo liwo ci dla portfela z o onego z akcji A, B, C i D.
© Romuald Hoffmann - 33 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Figura na rysunku nazywa si zbiorem mo liwo ci.
Najwa niejsz cz stanowi krzywa ED, która reprezentuje
najlepsze portfele. Zachodzi tutaj jedna z dwóch sytuacji:
1. nie istnieje portfel, który przy tym samym poziomie ryzyka
ma wy sz stop zwrotu,
2. nie istnieje portfel, który przy tej samej warto ci stopy
zwrotu ma mniejsze ryzyko.
© Romuald Hoffmann - 34 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Podzbiór zbioru mo liwo ci okre laj cy te portfele, dla których
nie mo na wskaza portfeli lepszych, nazywa si granic
efektywn lub zbiorem efektywnym, natomiast portfele le ce
na tej granicy nazywaj si portfelami efektywnymi.
© Romuald Hoffmann - 35 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Analiza portfelowa Markowitza przyjmuje nast puj ce
za o enia:
a) inwestorzy d do maksymalizacji u yteczno ci swojego
bogactwa,
b) wszyscy inwestorzy maj ten sam horyzont inwestycyjny,
c) inwestorzy maj awersj do ryzyka,
d) inwestorzy podejmuj swoje decyzje na podstawie stopy
zwrotu i odchylenia standardowego dost pnych alternatyw
inwestycyjnych,
e) zak adamy brak podatków i kosztów transakcyjnych.
© Romuald Hoffmann - 36 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Portfel zawieraj cy
papiery warto ciowe wolne od ryzyka
Do analizy portfelowej mo emy tak e w czy papiery
warto ciowe wolne od ryzyka w celu jeszcze wi kszej redukcji
ryzyka poprzez jego w a ciw dywersyfikacj .
Uwzgl dnienie papierów warto ciowych wolnych od ryzyka w
portfelu mo emy potraktowa jako utworzenie portfela
dwusk adnikowego, przy czym pierwszy sk adnik to w a nie
papiery wolne od ryzyka, a drugi to portfel efektywny
zawieraj cy ryzykowne akcje.
© Romuald Hoffmann - 37 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Stopa zwrotu takiego dwusk adnikowego portfela jest równa:
R =w R 1 w R
p f f f
Re  stopa zwrotu portfela efektywnego, R
gdzie: 
f
stopa zwrotu papieru warto ciowego wolnego od ryzyka,
w
 udzia papieru wolnego od ryzyka.
f
Odchylenie standardowe nowo utworzonego portfela jest
równe:
s = 1 w se
p f
© Romuald Hoffmann - 38 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Jak wygl da stopa zwrotu i odchylenie standardowe portfela
z o onego z obligacji (papiery wolne od ryzyka F) i akcji
(portfel efektywny E) ???
© Romuald Hoffmann - 39 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
© Romuald Hoffmann - 40 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Nasz portfel zawiera zarówno akcje (zawarte w portfelu
efektywnym E), jak i papiery warto ciowe wolne od ryzyka,
oznaczone punktem F. Wszystkie mo liwe kombinacje tego
portfela reprezentuje prosta FE. Im wi kszy udzia lokat
wolnych od ryzyka w portfelu, tym bli ej punktu F znajduje si
ten portfel. Widzimy jednak, e portfel zawieraj cy papiery
wolne od ryzyka i portfel M pozwoli stworzy najlepsz
kombinacj .
W celu znalezienia portfela M kre limy pó prost wychodz c
z punktu F i styczn do zbioru mo liwo ci w najwy szym
punkcie. Portfel M nazywa si portfelem rynkowym.
© Romuald Hoffmann - 41 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
W efekcie otrzymujemy zestaw portfeli le cych na odcinku
FM. Teraz odcinek ten jest zbiorem efektywnym. Zauwa my,
e zbiór efektywny wyznaczony dla portfela zawieraj cego
tylko akcje przestaje nim by po w czeniu do portfela
papierów wolnych od ryzyka. Dla ka dego portfela nale cego
do starego zbioru efektywnego mo na znale lepszy portfel w
nowym zbiorze efektywnym.
© Romuald Hoffmann - 42 /44 -
Teoria inwestycji finansowych. Teoria portfela (WYK AD IV)
Po w czeniu do portfela papierów wolnych od ryzyka, zbiór
efektywny jest odcinkiem le cym na prostej:
RM R
f
R=R s
f
sM
gdzie:  odchylenie standardowe,
R  stopa zwrotu,
s
RM  stopa zwrotu portfela rynkowego, sM - odchylenie
standardowe portfela rynkowego.
Prosta ta nazywa si lini rynku kapita owego (Capital
Market Line) i zawiera portfele efektywne powsta e po
uwzgl dnieniu papierów ryzykownych i wolnych od ryzyka.
© Romuald Hoffmann - 43 /44 -