Wrocław, 30.12.2007
Teoria portfela wg Markowitza
Agnieszka Porębska
III ZIF, AE we Wrocławiu
1. Wstęp
Analiza portfelowa jest metodą doboru akcji do portfela inwestycyjnego, która pozwala na
redukcję ryzyka przy osiąganiu jednocześnie określonej stopy zwrotu. Autorem teorii portfela jest
Harry Markowitz (Amerykanin, zdobywca Nagrody Nobla w 1990r. m.in. za opracowanie teorii
portfela), który po raz pierwszy przedstawił jej zasady w artykule opublikowanym w  Journal of
Finance w 1952 r.
W pewnym przybliżeniu można powiedzieć, że analiza portfelowa to narzędzie służące do
wyboru i zestawiania ze sobą odpowiednich akcji w celu obniżenia ryzyka inwestycyjnego. Część
inwestorów, często nie zdając sobie z tego sprawy, dokonuje intuicyjnej dywersyfikacji ryzyka na
bazie analizy fundamentalnej inwestując w firmy o różnym charakterze. Do portfela włączają spółki
należące do przeciwstawnych branż bądz
posiadających odmienne struktury kapitału. Inni,
opierający się wyłącznie na analizie technicznej, spośród wielu firm wybierają kilka, które rokują
największe nadzieje na wzrost notowań. Aby zapobiec ewentualnej stracie inwestorzy bazujący na
analizie technicznej kupują więc kilka akcji, o największym potencjale wzrostowym. W takiej
sytuacji często zdarza się, że każda z prognoz została opracowana na podstawie różnych sygnałów
technicznych. Spekulanci wybierają więc akcje wskazane przez różne metody oceny, co zapewnia
im właśnie dywersyfikację ryzyka. Można więc powiedzieć, że tak jak wszyscy mówimy prozą, tak
większość z nas nieświadomie stosuje analizę portfelową. Tak przeprowadzana dywersyfikacja jest
jednak wyłącznie działaniem intuicyjnym i może przynosić rożne skutki  w praktyce różne
przypadkowe połączenia akcji mogą wcale nie zmniejszać ryzyka inwestycji.
2. Dochód, ryzyko, korelacja stóp zwrotu  parametry charakteryzujące akcje, które wg
Markowitza decydujÄ… o doborze akcji do portfela.
Teoria Markowitza była pierwszą udaną próbą wyjaśnienia dlaczego inwestorzy kupują
akcje kilku spółek a nie jednej. Wcześniejsze modele opisujące zachowania inwestorów opierały się
na założeniu, że inwestorzy starają się zmaksymalizować swój dochód (wartość bieżącą przyszłych
dochodów wynikającą ze wzrostu cen akcji i praw przysługujących z ich posiadania). Takie
podejście powinno według analizy przeprowadzonej przez Markowitza skutkować zakupem
jednego waloru o najwyższej oczekiwanej stopie zwrotu, a nie kilku, jak to się działo w praktyce.
Zgodnie z modelem zaproponowanym przez Markowitza każdy inwestor charakteryzuje się
dwiema wartościami: poziomem oczekiwanego zysku oraz akceptowanym dla tego dochodu
poziomem ryzyka. Wartości te są różne dla każdego inwestora w zależności od indywidualnych
cech i preferencji (można wyróżnić inwestorów ze skłonnością bądz
awersjÄ… do ryzyka).
Poziom oczekiwanego zysku, mierzony stopą zwrotu, określa długoterminową tendencję
zachowania rynku akcji. Ryzyko (mierzone odchyleniem standardowym) umożliwia ocenę wahań
ceny wokół tendencji. Wynika ono stąd, że decyzje inwestycyjne są obarczone niepewnością,
dotyczą nieznanej przyszłości. Przy pomocy metod statystycznych możemy wyznaczyć te wartości
dla każdej akcji i przez to dokładnie ją opisać (np. wyznaczamy oczekiwaną tygodniową stopę
zwrotu z danej akcji jako średnią z ostatnich 30-stu historycznych, tygodniowych stóp zwrotu oraz
ryzyko mierzone odchyleniem standardowym wyliczone na podstawie tych samych danych).
Markowitz ponadto zwrócił uwagę na to, że oprócz tych dwóch parametrów (dochód,
ryzyko), każda para akcji charakteryzuje się współczynnikiem korelacji, który określa związek
zachowania obu akcji. Analiza korelacji prowadzi do stwierdzenia, czy zmiany stopy zwrotu jednej
spółki powiązane są ze zmianami stopy zwrotu akcji drugiej spółki. Niska bądz
ujemna korelacja
powinna (w idealnym świecie) charakteryzować akcje firm należących do różnych branż. W
praktyce większość stóp zwrotu akcji spółek charakteryzuję się korelacją dodatnią, choć zazwyczaj
nie jest ona zbyt mocna. Zdarzają się tez przykłady korelacji ujemnej, choćby spółki naftowe i
spółki transportowe (odwrotna zależność wyników finansowych od cen ropy naftowej) czy też
spółki z różnych krajów (jednak dobierając do portfela akcje spółek z innych krajów musimy mieć
na uwadze pojawienie siÄ™ ryzyka kursu walutowego).
W portfelu powinny siÄ™ znalez
ć akcje spółek o niskiej bądz
ujemnej korelacji - dochody z
akcji o rosnÄ…cych cenach zmniejszÄ… straty, poniesione na skutek spadku cen innych posiadanych
papierów wartościowych. Do portfela należy wybierać zatem firmy o najwyższej stopie zwrotu,
najniższym ryzyku i najniższej korelacji, co obniża ryzyko portfela.
3. Teoria portfela wielu spółek
Markowitz w swojej teorii zaproponował praktyczny sposób poszukiwania optymalnego pakietu
akcji (portfela), uwzględniającego wszystkie walory występujące na rynku i minimalizujące ryzyko
przy zadanej stopie zwrotu.
W celu jej zaprezentowania załóżmy, że rozpatrujemy n spółek  składników portfela, oraz
określone są:
- Oczekiwane stopy zwrotu każdej spółki  w sumie n wartości,
- Odchylenia standardowe stopy zwrotu każdej spółki  w sumie n wartości,
- Współczynniki korelacji stóp zwrotu każdej pary spółek  w sumie 0,5n(n-1)
wartości.
" Wzory na charakterystyki portfela wielu spółek
Oczekiwana stopa zwrotu portfela określona jest następującym wzorem:
n
Rp = E(Ri ) ,
"wi
i=1
Gdzie: Rp  oczekiwana stopa zwrotu portfela; wi  udział i-tej spółki w portfelu (suma wszystkich
udziałów wynosi 1); E(Ri)  oczekiwana stopa zwrotu akcji i-tej spółki.
Ze wzoru tego wynika, że oczekiwana stopa zwrotu portfela jest średnią ważoną oczekiwanych stóp
zwrotu składników portfela, przy czym wagami są udziały tych spółek w portfelu.
Wariancja stopy zwrotu portfela:
n n-1 n
2 2
Vp = à + 2 wjà à Áij ,
"wi i " "wi i j
i=i i=1 j=i+1
n n-1 n
2 2
Lub Vp = Ã + 2 wjCovij ,
"wi i " "wi
i=i i=1 j=i+1
Gdzie: Vp  wariancja stopy zwrotu portfela; Ãi - odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji i-tej
spółki; Áij - współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji i-tej i j-tej spółki; Covij - kowariancja stóp
zwrotu akcji i-tej i j-tej spółki.
Odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela spółek określone jest zatem wzorem:
n n-1 n
2 2
à = à + 2 wjà à Áij ,
p "wi i " "wi i j
i=i i=1 j=i+1
Gdzie: Ã - odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela.
p
Jak wynika z tego wzoru, ryzyko portfela zależy nie tylko od ryzyka składników tego portfela, lecz
również od współczynników korelacji stóp zwrotu składników portfela, przy czym im więcej jest
ujemnych lub niewielkich dodatnich współczynników korelacji stóp zwrotu, tym mniejsze ryzyko
portfela.
" Graficzne przedstawienie portfela wielu spółek, portfele efektywne
W modelu Markowitza, a także w większości innych modeli analizy portfelowej nie używa
się wykresów dla poszczególnych akcji. Graficznie prezentuje się jedynie cały rynek w postaci
mapy ryzyko-zysk. Poszczególne punkty na takiej mapie przedstawiające pojedyncze akcje
określają wielkość historycznej, bądz
prognozowanej stopy zwrotu oraz ryzyko każdego waloru.
Tworząc wszystkie możliwe portfele złożone z akcji tych spółek, otrzymujemy pewną figurę, która
została zaznaczona na poniższym rysunku (przedstawiającym przykład portfela pięciu spółek -
spółki, będące portfelami jednoskładnikowymi, zaznaczone są jako punkty A, B, C, D E). Jest to
tzw. zbiór dopuszczalny (feasible set) lub zbiór możliwości (opportunity set). W jego skład wchodzi
wnętrze i brzeg figury. Jak sama nazwa wskazuje, zbiór możliwości jest to zbiór wszystkich
możliwych portfeli dostępnych dla inwestora, tworzącego te portfele z pięciu spółek.
Spośród wszystkich portfeli należących do zbioru możliwości tylko część powinna być
brana pod uwagę przez inwestora. Są to portfele leżące na krzywej między X i E. Jest to tzw. zbiór
efektywny lub granica efektywna (efficient set, efficient frontier). Portfele należące do tego zbioru
nazywajÄ… siÄ™ portfelami efektywnymi (efficient portfolios). Tylko one sÄ… atrakcyjne dla inwestora,
który kieruje się zasadą uzyskania jak najwyższej oczekiwanej stopy zwrotu i jak najniższego
ryzyka mierzonego odchyleniem standardowym stopy zwrotu (możliwego do uzyskania przy
zadanej stopie zwrotu). Jednym z portfeli efektywnych jest również portfel o minimalnym ryzyku
(MVP  Minimum Variance Portfolio), oznaczony tutaj przez X.
Rysunek 1. Portfel wielu spółek
Portfel efektywny jest to portfel, który:
- Ma minimalne ryzyko wśród portfeli o danej oczekiwanej stopie zwrotu,
- Ma maksymalną oczekiwaną stopę zwrotu wśród portfeli o danym poziomie ryzyka.
Inne portfele sÄ… zdominowane przez portfele efektywne. Na rysunku 1. portfelem zdominowanym
jest portfel odpowiadający punktowi U, gdyż lepsze od niego są np.: portfel S (ten sam dochód,
mniejsze ryzyko) oraz portfel T (to samo ryzyko, wyższy dochód).
Powyższe rozważania dotyczyły portfela wielu spółek, tworzonego bez możliwości stosowania
krótkiej sprzedaży. W przypadku dopuszczenia możliwości krótkiej sprzedaży wzory opisujące
charakterystyki portfela są nadal aktualne  niektóre udziały są wówczas liczbami ujemnymi. W
przypadku zastosowania krótkiej sprzedaży możemy zmniejszyć ryzyko portfela (wynika to ze
wzoru na odchylenie standardowe, gdzie wówczas zmniejszamy ostatni składnik sumy ze względu
na ujemną wartość jednego z udziałów) bądz
zwiększyć jego stopę zwrotu (gdy sprzedajemy krótko
akcje o niższej stopie zwrotu a dokupujemy te o wyższej stopie zwrotu). Wprowadzenie krótkiej
sprzedaży daje więc dodatkowe możliwości inwestorowi. Ogólnie rzecz biorąc, zbiór efektywny
uwzględniający krótką sprzedaż dominuje nad zbiorem efektywnym nieuwzględniającym krótkiej
sprzedaży co ukazane jest na poniższym rysunku.
Rysunek 2. Portfel wielu spółek  uwzględnienie krótkiej sprzedaży
Należy jednak pamiętać, że krótka sprzedaż nie jest obecnie dostępna dla wszystkich
inwestorów. Ponadto mogą być z nią związane pewne ograniczenia, przez co nie musi być tak
korzystna jak wskazywały powyższe rozwiązania.
W praktycznym wyznaczeniu składu portfela efektywnego (a także szczególnego przypadku
portfela efektywnego  portfela o minimalnym ryzyku) stosuje siÄ™ rachunek macierzowy. Bardzo
pomocne jest tutaj wykorzystanie funkcji Solver w Excelu (do wyznaczenia udziałów spółek w
portfelu, gdy określony jest poziom oczekiwanej stopy zwrotu z portfela bądz
poziom ryzyka).
- WYZNACZENIE SKA
ADU PORTFELA MVP
- WYZNACZNIE SKA
ADU PORTFELA O MINIMALNYM RYZYKU PRZY
ZADANEJ STOPIE ZWROTU ER
4. Teoria portfela a teoria użyteczności
Dotychczasowe rozważania wskazują na właściwą decyzję inwestycyjną podjętą przez
inwestora, który kieruje się zasadami teorii portfela, czyli stara się maksymalizować oczekiwaną
stopę zwrotu i minimalizować ryzyko (mierzone odchyleniem standardowym stopy zwrotu). Dla
takiego inwestora racjonalny jest wybór jednego z portfeli efektywnych. Jednak w tej samej sytuacji
różni inwestorzy wybiorą różne portfele leżące na granicy efektywnej. Wyjaśnić to zjawisko można
poprzez uwzględnienie preferencji inwestorów, a w szczególności ich awersji do ryzyka. Można
tego dokonać na gruncie teorii użyteczności.
Ogólnie rzecz biorąc inwestor może się charakteryzować awersją do ryzyka, skłonnością do
ryzyka bÄ…dz
obojętnością względem ryzyka. Inwestor ma większą awersję do ryzyka, gdy przy tym
samym wzroście ryzyka dla zachowania wartości użyteczności na tym samym poziomie wymaga
wyższego wzrostu dochodu. Na poniższym rysunku ukazano krzywe obojętności różnych
inwestorów. Inwestorzy A i B charakteryzują się awersją do ryzyka (inwestor A ma większą
awersje do ryzyka). Inwestor C jest obojętny względem ryzyka, a inwestor D charakteryzuję się
skłonnością do ryzyka.
Rysunek 3. Krzywe obojętności różnych inwestorów.
O poziomie awersji do ryzyka informują miary awersji do ryzyka. Wyróżniamy miarę
bezwzględnej awersji do ryzyka oraz miarę względnej awersji do ryzyka. Jeśli miara bezwzględnej
awersji do ryzyka rośnie, oznacza to, że w miarę wzrostu stopy dochodu inwestor przeznacza mniej
środków na inwestycje obarczone ryzykiem. Wzrost miary względnej awersji do ryzyka informuje
zaś, że w miarę wzrostu stopy dochodu udział środków przeznaczanych przez inwestora na
inwestycje obarczone ryzykiem maleje.
Kwadratowa funkcja użyteczności charakteryzuje inwestora który ma rosnącą bezwzględną
awersję do ryzyka i rosnącą względną awersję do ryzyka. Taką też funkcje użyteczności
(ewentualnie zbliżoną do niej) musi posiadać inwestor by było zasadne stosowanie klasycznej teorii
portfela wielu spółek zaproponowanej przez Markowitza. W praktyce jednak rozpatrywanie
inwestycji w układzie ryzyko i dochód może być bardzo skuteczne, niezależnie od tego, przy
prowadzi do maksymalizacji oczekiwanej użyteczności, czy też nie.
Rysunek 4. Portfel wielu spółek i krzywe obojętności inwestora
Z rysunku wynika, że inwestor kierujący się zasadą maksymalizacji oczekiwanej
użyteczności powinien wybrać portfel Z. Ze wszystkich portfeli efektywnych leży on na tej krzywej
obojętności, która odpowiada największej oczekiwanej użyteczności inwestora. W sensie
użyteczności tego inwestora portfel Y, będący również portfelem efektywnym, jest gorszy, gdyż
leży na krzywej obojętności odpowiadającej niższej oczekiwanej użyteczności. Im większą awersją
do ryzyka charakteryzuje się inwestor, tzn. im większe nachylenie mają krzywe obojętności, tym
bliżej portfela o minimalnym ryzyku znajdzie się portfel maksymalizującym oczekiwaną
użyteczność inwestora.
5. Wady modelu Markowitza
Sposób wyboru portfela zaproponowany przez Markowitza pomimo swej teoretycznej
atrakcyjności, posiada jednak kilka wad. Najważniejsza z nich, wytknięta przez John'a Maynard'a
Keynes'a, to wykorzystywanie do procesu wyznaczania składu kursów historycznych, co może być
problematyczne. Zastosowanie metody Markowitza wiąże się z koniecznością szacowania
przyszłych stóp zwrotu i odchyleń standardowych w oparciu o dane z przeszłości. Nie ma jednak
pewności, że dane historyczne okażą się dobrą estymacją przyszłości. Ponadto niektórzy twierdzą,
że metoda Markowitza jest bardzo wrażliwa nawet na niewielkie zmiany okresu, z którego
pochodzą historyczne dane do analiz (zależy to od sytuacji panującej na rynku). Sprawia to, że
praktyczne zastosowanie teorii Markowitza bywa nieefektywne ekonomicznie. Wady teorii
Markowitza są wspólną cechą wszystkich modeli klasycznych finansów, w których do
prognozowania przyszłości wykorzystuje się dane historyczne. Nie ma bowiem pewności, że
wyliczone parametry (stopy zwrotu, odchylenie standardowe, korelacja) wymagane do konstrukcji
portfeli, okażą się dostatecznie stabilne w czasie.
Analiza portfelowa może mieć zastosowanie głównie do inwestycji średnio
i długookresowych. Przy inwestowaniu na krótki okres nie powinniśmy dokonywać analiz
i budować portfela jedynie w oparciu o historyczne stopy zwrotu i historyczne ryzyko. Ciężko
ocenić znaczenie oraz trafność takiej analizy w przypadku inwestycji krótkoterminowej, bowiem
rynek jest bardzo dynamiczny i zmienny  zwłaszcza w okresie takim jak teraz, gdy obserwujemy
zakłócenie obecnej tendencji rozwojowej i ciągłą walkę byków i niedz
wiedzi na rynku. Kierunek
ruchu cen oraz osiągnięta stopa zwrotu zgodna z oczekiwanymi w krótkim okresie mogą być w
dużej mierze kwestią przypadku i nie wynikać z założeń analizy portfelowej i budowy portfela
efektywnego.
Analiza portfelowa wg Markowitza powinna mieć zastosowanie w przypadku kontynuacji
trendu, nie zaś wtedy, gdy są znaczące sygnały odwrócenia trendu  zwłaszcza na trend spadkowy
(wtedy często na rynkach występuje panika i rynek staje się nieprzewidywalny). W przypadku
konsolidacji bÄ…dz
odwrócenia trendu nie możemy bowiem oczekiwać tych samych stóp zwrotu,
które były w przeszłości, a także powinniśmy zmienić skład swojego portfela np. z akcji
agresywnych (reagujÄ…cych silniej od rynku) na defensywne (reagujÄ…ce wolniej od rynku) w
przypadku pojawienia siÄ™ bessy (wykorzystanie tutaj modelu Sharpe a). Takie konsolidacje i
zawirowania na rynku mogą trwać długo, więc trudno oczekiwać dodatnich stóp zwrotu przy
krótkim horyzoncie inwestycji. Jeśli chcemy inwestować na krótki okres w oparciu o narzędzia
analizy portfelowej to powinniśmy to robić tylko w przypadku silnego trendu wzrostowego, gdy nie
ma przesłanek i sygnałów świadczących o możliwości załamania dotychczasowej tendencji.
6. Następcy Markowitza, rozwój teorii portfela
- 1958 r., James Tobin  tworzenie portfela, w którym uwzględnia się również
instrumenty wolne od ryzyka;
- 1963 r., William Sharpe  model jednowskaz
nikowy (single index model), model
Sharpe a, uproszczenie teorii portfela Markowitza, punkt wyjścia najbardziej
popularnego modelu rynku kapitałowego CAPM (twórcy: W. Sharpe, J. Lintner, J.
Mosin, J. Treynor)
BIBLIOGRAFIA:
1. Krzysztof Jajuga, Teresa Jajuga, Inwestycje. Instrumenty finansowe, aktywa finansowe, ryzyko
finansowe, inżynieria finansowa. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006 r.
2. Strona internetowa autorstwa Marka Wierzbickiego: www.motte.pl dotyczÄ…ca analizy
portfelowej.
3. Slajdy przygotowywane na wykład z przedmiotu  Analiza i zarządzanie portfelem autorstwa
dr Katarzyny Kuziak (AE we Wrocławiu).