Teoria portfela
Jerzy Dzieża
Wyższa Szkoła Biznesu  National Louis University
[e-mail]
1
1 Analiza średnio wariancyjna
(mean variance portfolio theory)
Możemy inwestować w n ryzykownych papierów wartościowych (ak-
cji, walorów ryzykownych, asetów) oznaczonych i = 1, . . . , n o na-
stępującej charakterystyce:
 stopa zwrotu z papieru wynosi r (jest zmiennÄ… losowÄ…),
zatem oczekiwana stopa zwrotu (wartość oczekiwana (wartość śred-
nia) stopy zwrotu)
E(r) = r (1)
2
 wariancja stopy zwrotu
2
var(r) = Ãr = E((r - r)2) (2)
również: odchylenie standardowe stopy zwrotu
Ãr = var(r) (3)
Pewne własności wartości oczekiwanej i wariancji:
" jeśli X deterministyczne to E(X) = X
" jeÅ›li X, Y dwie zmienne losowe, Ä…, ² " IR wtedy
E(Ä…X + ²Y ) = Ä…E(X) + ²E(Y ) (4)
" jeśli X 0 to E(X) 0
3
"
var(X) = E((X - E(X))2)
= E(X2) - 2E(X) · E(X) + E(X)2
= E(X2) - E(X)2 (5)
Mapa ryzyko oczekiwana stopa zwrotu
akcja oznaczona punktem
cd przypomnienia z prawdopodobieństwa
jeśli mamy dwie zmienne losowe X oraz Y możemy zapytać o relację
(zależność) między nimi
- kowariancja zmiennych losowych X oraz Y
cov(X, Y ) = ÃXY = E[(X - E(X)) · (Y - E(Y ))] (6)
obserwacja
2
ÃX = ÃXX (7)
4
wariancja zmiennej losowej jest kowariancjÄ… tej zmiennej z samÄ…
sobÄ…
własność
"
cov(X, Y ) = E(XY ) - E(X)E(Y ) (8)
"
var(X + Y ) = E[(X - X + Y - Y )2]
= E[(X - X)2] + 2E[(X - X) · (Y - Y )] + E[(Y
2 2
= ÃX + 2ÃXY + ÃY
wyprowadzić (jako zadanko)
definicja
5
" jeÅ›li ÃXY = 0 to zmienne X, Y nazywamy nieskorelowanymi
" jeÅ›li ÃXY > 0 to zmienne X, Y sÄ… dodatnio skorelowane
" jeÅ›li ÃXY < 0 to zmienne X, Y sÄ… ujemnie skorelowane
rysunki
obserwacja
gdy X, Y nieskorelowane, wtedy (9)
2 2 2
ÃX+Y = ÃX + ÃY (10)
własność
| ÃXY | ÃXÃY (11)
wyprowadzić (jako zadanko)
kiedy zachodzi równość?
6
gdy ÃXY = ÃXÃY to idealna dodatnia korelacja,
gdy ÃXY = -ÃXÃY to idealna ujemna korelacja
definicja współczynnik korelacji zmiennych x oraz y
ÃXY
ÁXY = (12)
ÃXÃY
zatem | ÁXY | 1.
sytuacja
Mamy n akcji o stopach zwrotu: ri, 1 i n
Wartości oczekiwane stóp zwrotu: E(ri) = ri,
2
wariancje stóp zwrotu: Ãi = E[(ri - ri)2]
Tworzymy portfel n akcji o wagach wi
7
wtedy stopa zwrotu portfela
r = w1r1 + w2r2 + · · · + wnrn (13)
jest zmiennÄ… losowÄ…
zatem oczekiwana stopa zwrotu z portfela
E(r) = w1E(r1) + w2E(r2) + · · · + wnE(rn) (14)
wariancja stopy zwrotu z portfela
Ã2 = E[(r - r)2]
n n
= E ( wiri - wiri)2
i=1 i=1
n n
= E ( wi(ri - ri)) · ( wj(rj - rj))
i=1 j=1
8
n
= E wiwj(ri - ri) · (rj - rj)
i,j=1
n
= wiwjÃij (15)
i,j=1
Wprowadz
my zapis macierzowy
dywersyfikacja don t put all your eggs in one basket
wynik E. Famy
szczególny przypadek gdy n = 2 (wzór na portfel minimalnowarian-
cyjny pokażemy na ćwiczeniach)
Matlab
zbiór dopuszczalny (feasible set)
(lewy) brzeg zbioru dopuszczalnego = zbiór minimalnowariancyjny
(MV)
9
10
ma kształt pocisku (Markowitza)
górna część zbioru MV = granica efektywna (efficient frontier)
Problem Markowitza
zminimalizuj ryzyko portela
n
1 1
Ã2 = wiwjÃij (16)
2 2
i,j=1
przy zaÅ‚ożonej oczekiwanej stopie zwrotu portfela µ
n
wiri = µ (17)
i=1
oraz ograniczeniach budżetowych
n
wi = 1. (18)
i=1
11
Oznaczenia
R = (E(r1), E(r2), . . . , E(rn))T (19)
ëÅ‚ öÅ‚
cov(r1, r1) · · · cov(r1, rn)
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ . . ÷Å‚
...
. .
ìÅ‚ ÷Å‚
cov = (20)
. .
íÅ‚ Å‚Å‚
cov(rn, r1) · · · cov(rn, rn)
w = (w1, w2, . . . , wn)T (21)
1l = (1, 1, . . . , 1)T (22)
czyli w języku macierzowym:
zminimalizuj ryzyko portela
1
min wT cov w (23)
w"IRn
2
przy założonej oczekiwanej stopie zwrotu portfela
RT w = µ (24)
12
i ograniczeniach budżetowych
1lTw = 1 (25)
Zakłada się, że symetryczna macierz cov jest dodatnio określona,
xT cov x > 0 dla dowolnego 0 = x " IRn. To założenie implikuje

odwacalność macierzy cov
gwarantuje, że żaden papier wartościowy nie jest  nadmiarowy w tym sensie, że stopa
zwrotu danego papieru wartościowego nie jest kombinacją liniową stóp zwrotu pozo-
stałych papierów.
Rozwiązanie  metoda mnożników Lagrange a
funkcja Lagrange a
1
L = wT cov w + (1 - 1lTw) + Å‚(µ - RTw) (26)
2
13
różniczkując L względem w
"L
= cov w - 1l - Å‚R = 0 (27)
"w
zatem rozwiÄ…zanie
w" = cov-11l + Å‚cov-1R (28)
ale rozwiązanie zależy od  i ł
 oraz ł mogą być wyznaczone z warunków
1 = 1lTw" = 1lTcov-11l + Å‚1lTcov-1R (29)
µ = RT w" = RT cov-11l + Å‚RTcov-1R (30)
wprowadzajÄ…c oznaczenia
A = 1lTcov-11l
14
B = 1lTcov-1R
C = RT cov-1R
otrzymujemy rozwiÄ…zanie
C - µB µA - B
 = Å‚ = (31)
" "
gdzie
" = AC - B2
uwaga: " = 0 z własności mac. cov

zatem wariancja portfela minimalnowariancyjnego (MV)
Ã2 = w"T cov w"
= w"T cov (cov-11l + Å‚cov-1R)
15
= w"T 1l + Å‚wTR
=  + Å‚µ
Aµ2 - 2Bµ + C
= (32)
"
parabola ze wzglÄ™du na µ
ale w mapie Ã-E(r) to jest hiperbola
Globalny portfel MV
dÃ2 2Aµ - 2B
0 = = (33)
dµ "
zatem oczekiwana stopa zwrotu
B
µg = (34)
A
16
i wariancja stopy zwrotu takiego portfela
Aµ2 - 2Bµg + C
1
g
2
Ãg = = (35)
" A
stÄ…d
 = 1/A Å‚ = 0 (36)
zatem globalny portfel MV
wg =  cov-11l + Å‚ cov-1R
1
= cov-11l
A
cov-11l
= (37)
1lTcov-11l
17
Twierdzenie 1.1 Portfel leży w zbiorze MV wtw gdy jego µ oraz
Ã2 speÅ‚niajÄ… zależność
A
2
Ã2 = (µ - µg)2 + Ãg (38)
"
Granica efektywna zawiera te MV portfele, których oczekiwana sto-
pa zwrotu wynosi przynajmniej µg.
gdy szukamy portfela MV bez krótkiej sprzedaży to programo-
wanie kwadratowe
18
Twierdzenie o rozdzielaniu
(seperation or two-fund theorem)
Mieliśmy
w" =  cov-11l + Å‚ cov-1R (39)
widać, że portfel MV jest kombinacją tylko dwóch(!!) portfeli, bo:
Ò! I skÅ‚adnik za globalny portfel MV
Ò! wybierzmy II skÅ‚adnik: niech B = 0, definiujemy

wd = cov-1R/B (40)
zatem
w" = (A)wg + (Å‚B)wd (41)
dodatkowo
A + Å‚B = 1 (42)
19
To był szczególny przypadek
weżmy dwa dowolne różne portfela MV wa oraz wb zatem
wa = (1 - a)wg + awd wb = (1 - b)wg + bwd
wtedy
A + b - 1 1 - a - A
w" = wa + wb (43)
b - a b - a
suma wag = 1 i cbdu.
Twierdzenie 1.2 Zbiór MV (w szczególności zbiór efektywny) mo-
że być utworzony przez kombinację dowolnych dwóch różnych port-
feli MV
jeśli znany 2 dowolne portfele MV (2 różne rozwiązania problemu
Markowitza) to ważona kombinacja liniowa jest także portfelem MV
20
Własności portfeli MV
1. kowariancja portfela g z dowolnym p jest stała !!
T
cov(rg, rp) = wg · cov · wp
(cov-1 · 1l)T
= cov · wp
A
1lT · (cov-1)T · cov · wp 1
= = (44)
A A
2. dla dowolnego portfela MV tak nie jest:
niech
wa = (1 - a)wg + awd, wb = (1 - b)wg + bwd
wtedy
1 a · b · "
cov(ra, rb) = + (45)
A A · B2
21
2 Problem Markowitza z aktywem wolnym
od ryzyka
aktywa wolne od ryzyka = stopa zwrotu jest deterministyczna
instrument wolny od ryzyka:
- stopa zwrotu (deterministyczna): rf
- oczekiwana stopa zwrotu: rf
- wariancja stopy zwrotu: Ãf (= 0)
mamy również instrument ryzykowny: rp, rp, Ãp
mamy 2 aktywa i tworzymy z nich portfel
w - waga instrumentu ryzykownego w portfelu
stopa zwrotu takiego portfela
r = (1 - w) · rf + w · rp (46)
22
oczekiwana stopa zwrotu
r = E[(1 - w) · rf + w · rp] = (1 - w) · rf + w · rp (47)
ryzyko portfela
2 2
Ã2 = (1 - w)2 · Ãf + w2 · Ãp + 2w · (1 - w) · Ãp · Ãf · Áfp (48)
stÄ…d
à = w · Ãp (49)
r oraz à zmieniają się liniowo z wagą w
inetrpretacje geometryczne
inny zbiór dopuszczalny i MV
obserwacja tw. o 1-funduszu (one-fund theorem)
Twierdzenie 2.1 Istnieje dokładnie jeden portfel (fundusz) F, tże
dowolny portfel efektywny może być skonstruowany jako ważona
kombinacja liniowa portfela F i instrumentu wolnego od ryzyka.
23
Dowolny portfel efektywny może być skonstruowany jako ważona kombinacja liniowa
portfela stycznego i instrumentu wolnego od ryzyka.
Ten jedyny portfel F można wyznaczyć
cov-1 · (R - rf · 1l)
wF = (50)
1lT · cov-1(R - 1l · rf)
24
3 Modele równowagi
założenia:
- inwestorzy określają tak samo parametry aktywów,
- istnieje stopa rf po której się pożycza i lokuje,
- nie ma kosztów transakcji,
tw. o 1-funduszu Ò! że jedynym funduszem bÄ™dzie wÅ‚aÅ›nie F ;
Ò! tym funduszem musi być portfel rynkowy = portfel
wszystkich spółek na rynku ważony kapitalizacją;
Ò! wynika to z równowagi podaży i popytu na aktywa;
Ò! inwestorzy wciąż obliczajÄ… portfele aż do równowagi
Ò! nie musimy nawet liczyć (analizujÄ…c dane) tego portfela;
ten jedyny portfel oznaczmy M, czyli M = F ;
25
mieliśmy
Ã
à = w · ÃM =Ò! w = (51)
ÃM
postawiajÄ…c
à Ã
r = (1 - ) · rf + · rM (52)
ÃM ÃM
porzÄ…dkujÄ…c
rM - rf
r = rf + · Ã (53)
ÃM
prosta = linia rynku kapitałowego (capital market line)
inetrpretacje geometryczne
rM - rf
r = rf + Ã (54)
à M
cena czasu
cena jednostki ryzyka
26
rynkowa cena ryzyka = nadwyżka (nad stopa wolną od ryzyka) na
jednostkÄ™ ryzyka rynkowego
przykładzik
27
4 Model wyceny aktywów kapitałowych
(CAPM Capital Asset Pricing Model)
mówiliśmy o portfelach efektywnych;
co z pojedynczymi akcjami, które nie są efektywne z natury
Ò! inwestorzy bÄ™dÄ… nagrodzeni za ryzyko, którego nie da siÄ™ zdy-
wersyfikować, ale nie będą za ryzyko dywersyfikowalne
ryzyko = rynkowe + specyficzne
skorelowane z rynkiem + nieskorelowane z rynkiem
niedywersyfikowalne + dywersyfikowalne
28
w portfelach efektywnych + nie występujące w portfelach efekt.
zobaczmy zatem na korelację spółki i-tej z rynkiem
n n
ri - rf
M M
cov(ri, rM) = cov(ri, wj rj) = wj Ãij =
n
(rj - rf)
j=1 j=1
j=1
drugiej strony
n n
M M
cov(rM, rM) = cov( wi ri, rM) = wi cov(ri, rM)
i=1 i=1
n
ri - rf rM - rf
M
= wi n =
n
(rj - rf) (rj - rf)
i=1
j=1 j=1
zatem
ri - rf cov(ri, rM)
=
rM - rf var(rM)
29
cov(ri, rM)
ri - rf = · (rM - rf) = ²i · (rM - rf) (55)
var(rM)
ri - rf = ²i · (rM - rf)
²i mierzy kowariancjÄ™ i-tej spółki z rynkiem
ri - rf oczekiwana nadwyżka stopy zwrotu z aktywa i-tego
Linia papieru wartościowego
Security Market Line (SML)
reprezentuje zależność ryzyko-nagroda
" ²i = 0 papier wolny od ryzyka
30
" ²i < 1 papier defensywny
" ²i = 1 rynek
" ²i > 1 papier ofensywny
jak liczyć ² ?
Ò! z definicji
Ò! prosta regresji liniowej
przykÅ‚adzik Ò! Excel
przypadki ekstremalne:
i) ²i = 0 (aktywo nieskorelowane z rynkiem) Ò! ri = rf
nawet gdy duże Ã, czyli nie ma premii za ryzyko
ii) ²i, 0 Ò! ri < rf j.w.
CAPM zmienia nasz poglÄ…d na ryzyko
31
zastosowania modelu CAPM
wyznaczanie oczekiwanej stopy zwrotu
przykładzik
beta portfela
wi, 1 i n
n
rp = = wiri Ò!
i=1
n
cov(rp, rM) = cov(ri, rM) Ò!
i=1
n
²p = wi²i
i=1
powróćmy do ryzyka
32
(losowa) stopa zwrotu aktywa i
ri = rf + ²i(rM - rf) + i (56)
zmienna losowa tak wybrana, aby zachodziła w rzeczywistości
i
własności:
Ò! E( ) = 0
i
2 2 2
Ò! Ãi = ²i ÃM + var( )
i
ryzyko = ryzyko systematyczne + ryzyko niesystematyczne
CML oraz SML Ò!
Ãi = ²i · ÃM (57)
(tak dla aktywów leżących na prostych)
dla pozostałych  rysunek CML i SML (przykładzik)
implikacje inwestycyjne Ò! fundusze indeksowe
efektywność rynku
33
Ocena zarzÄ…dzania portfelami
Ò! miara Jensena
Ć
J = r - rf - ² · (ĆM - rf) (58)
r
Ćwartości średnie
jeśli CAPM działa to J = 0
Ò! miara Treynora
Ć
r - rf
T = (59)
²
Ò! miara Sharpe a
Ć
r - rf
T = (60)
Ã
34
miary biorÄ… pod uwagÄ™ ryzyko i stopÄ™ zwrotu
miara Jensena - miara bezwzględna
miary Treynora i Sharpe a - miary względne
miara Sharpe a mierzy pokazuje jaki jest brak całkowitej dywersyfi-
kacji portfela
którą miarę stosować ?
dużo spółek Ò! miara Sharpe a
maÅ‚o spółek Ò! miara Treynora
35
5 Analiza i strategia wyboru spółek
Ò! inwestowanie bezpoÅ›rednie (osobiÅ›cie)
Ò! inwestowanie poÅ›rednie (fundusze)
Uczestnicy rynku
" fundusze inwestycyjne (powiernicze)
 możliwości przystąpienia
" otwarte, zamknięte
 podejmowanego ryzyka
" agresywnego wzrostu
" zrównoważonego wzrostu
" papierów dłużnych
36
" indeksowe
" banki (na własny rachunek)
" banki inwestycyjne
" instytucje ubezpieczeniowe i fundusze emerytalne
" fundusze hedgingowe (hedge fund)
prekursor: Alfred Winslow Jones (socjolog i dziennikarz finan-
sowy) 1949 rok
znane przykłady: Quantum (G. Sorosa), LTCM (J. Meriwe-
ther)
N. Dunbar, Alchemia pieniÄ…dza, Liber, W-wa, 2000
Strategie
Ò! pasywna (chcÄ™ być jak rynek)
37
minimalizujÄ™: koszty transakcji oraz czas (na analizÄ™)
1. buy & hold
2. fundusze indeksowe
3. inwestycja stałej kwoty w określonych przedziałach czasu
Ò! aktywna (chcÄ™ być lepszy niż rynek)
1. wybór akcji (ze względu na: P/E, P/BV, ROE, kapitalizację)
 analiza techniczna (metodologia przewidywania fluktuacji
cen akcji, stosowana od XIX w.)
Ò! wskaz
niki techniczne
Ò! wykresy
 analiza fundamentalna
38
2. rotacja sektorów
3. market timing
6 Efektywność rynku
Informacja - kluczowa w określeniu cen akcji
Informacja (założenia)
" bezpłatna, wszyscy mają do niej dostęp
" generowana przypadkowo i niezależnie
" wielu racjonalnych inwestorów (nie ma sterowania rynkiem)
" inwestorzy reagują szybko i płynnie na napływające informacje
39
Rodzaje informacji
1. informacja zawarta w cenach historycznych (AT, analiza sze-
regów czasowych)
2. wszystkie publiczne informacje
3. j.w. + wszystkie informacje niepubliczne
Hipoteza rynku efektywnego
Efficient Market Hypothesis EMH
1. słaba forma (Weak Form Efficiency WFE)
2. średnia forma (Semi-strong Form Efficiency SSE)
3. silna forma (Semi-strong Form Efficiency SSE)
40
Ewidencja efektywności rynku
1. WFE
Testy:
 statystyczne (czy zmiany cen są niezależne) ?
 proste reguły handlu
2. SSFE
Testy na poszczególne wydarzenia:
 split akcji
 zmiany ksiegowe
 oferta publiczna
 reakcja na ogłoszenia i wiadomości (info z innych giełd, dane
makro, plotki)
3. SFE
41
testuje się głównie doradców, ludzi robiących due diligence
Implikacja EMH
AT i EMH są w sprzeczności
EMH daje pewne wskazówki dla AT i AF
Ewidencja anomalii rynkowych (w sprzeczności do EMH)
" ogłoszenie wyników kwartalnych
" wiara w niskie P/E
" efekt wielkości
" efekt stycznia, początku kwartału, (w Polsce OFE)
42
7 Modele i dane
kalibracja modeli
problem wiarygodności danych do naszych modeli
Stabilność ²
kilka metod:
1. zakładamy, że
Ć
²t+1 = ²t
2. zależności statystyczne
zakÅ‚adamy, że powinna istnieć zależność pomiÄ™dzy ²t a ²t+1
w przeszłości (regresja liniowa)
Ć Ć
²t = a²t-1 + b
43
zakładamy, że a i b się nie zmienią, zatem
Ć
²t+1 = a²t + b
Modele jednoczynnikowe
zakładamy, że
ri = Ä…i + ²irm + ei = ai + ²irm
ai - składnik stopy zwrotu, któy nie zależy od rynku
²i - współczynnik beta
rm - stopa zwrotu z rynku
ei - bład (koryguje ai)
stopa zwrotu z papieru = składnik zależny od rynku + niezależny
ai, ²i - staÅ‚e
Rm, ei - zmienne losowe
44
2 2
oznaczenia: var(rm) = Ãm, var(ei) = Ãe
i
załóżmy, że
1. E(ei) = 0
2. cov(ei, rm) = E[ei(rm - E(rm)] = 0
3. E(eiej) = 0
model 1-czynnikowy = prosta regresji r = f(rm)
nachylenie = ²
przecięcie = a
Można pokazać, że
" ri = Ä…i + ²iE(rm)
2 2 2 2
" Ãi = ²i Ãm = Ãei
45
2
" Ãij = ²i²jÃm
przykładzik dla akcji i portfela akcji
46