3582318634

Wykład pierwszy

Przestrzeń probabilistyczna. Własności prawdopodobieństwa

1.    Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Definicja 1 Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynika nie da się z góry przewidzieć i które może być powtórzone w tych samych warunkach.

Przykłady doświadczeń losowych: rzut monetą, rzut kostką, losowanie karty z talii, czas eksploatacji dysku twardego w komputerze danego typu.

Definicja 2 Zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczamy symbolem fi. Każdy element przestrzeni zdarzeń elementarnych nazywamy zdarzeniem elementarnym.

2.    Zdarzenie losowe

Definicja 3 Zdarzeniem losowym nazywamy dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych. Zbiór wszystkich zdarzeń losowych oznaczamy symbolem P.

Definicja 4 Zdarzeniem pewnym nazywamy zdarzenie f1.

Zdarzeniem niemożliwym nazywamy zdarzenie 0.

Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A nazywamy zdarzenie A' = fi — A.

3. Prawdopodobieństwo

Definicja 5 Niech dana będzie przestrzeń zdarzeń elementarnych fi oraz zbiór zdarzeń losowych P. Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję P : P [0; oo) taką, że

1. P(fi) = 1

(OO    \    CO

U A_i | —^2 dla każdego przeliczalnego ciągu zdarzeń (Ai) takiego, że A_t n A,- = 0 gdy i ^ j.

i=i /    *=i

Warunki zawarte w powyższej definicji noszą nazwę aksjomatów teorii prawdopodobieństwa. Zostały sformułowane w 1933 roku przez Kołmogorowa.

Definicja 6 Trójkę (O, P, P) nazywamy przestrzenią probabilistyczną.

Własności prawdopodobieństwa:

Niech (fi, P, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Jeśli A, B, A_u..., A_n 6 P, to:

1. P(0) = 0;

2. Jeśli Ą D Aj = 0 dla i ^ j, to P ( (J Ai j = Y P{Ą)',

\j=i /    *=i

3. P{A') = 1 - P(A);

4. A C B =* P{A) < P(B);

5. P(B - A) = P(B) - P(A n B);

6. ACB =* P(B-A) = P(B)-P(A);

7. Wzór włączeń i wyłączeń:

P{Ai U • • • U A_n) = Y, ^P(^Ai)~ H ^»ni_fc) + - +

+(-i)”^_1 • P(Ai n • • • n A_n).

W szczególności:

dian = 2: P{A U B) = P{A) + P(B) - P{A n B); dian = 3:

P{A₁ U A₂ U A₃) =P(^) + P(A₂) + P(A₃) - P(Ai n A₂)+

—P(Ai n a$) — P(A₂ n ^₃) + P{Ai nA₂n >13).

1